Uma função f tem as seguintes propriedades

D(f) = R - {0}

f(1) = 0, f(2) = 1, f(3) = 8/9

f'(x) < 0 e m (-∞, 0) ∪ (2, ∞) e f'(x) > 0 e m (0, 2)

f''(x) < 0 e m (-∞, 0) ∪ (0, 3) e f''(x) > 0 e m (3, ∞)

lima(m_x→∞) f(x) = 0 li_m(x→-∞) f(x) = 0

li_m(x→0) f(x) = -∞

  1. i) f é crescente em _____ e decrescente em ______ .

    ii) f ́ é côncava para cima em _____ e côncava para baixo em _____ .

    iii)́ ______ é um ponto de máximo local e ___________ é um ponto de inflexão do gráfico de f .

  2. Esboce o gráfico de f

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1. Uma bem clássica de desenho de gráfico

Vamos começar pela letra a ) nela, temos que preencher uma série de espaços vazios. Então vamos começar revisando as informações do enunciado e a primeira parte dessa questão

D ( f ) = R - { 0 }

f ( 1 ) = 0 ,   f ( 2 ) = 1 ,   f ( 3 ) = 8 / 9

f ' ( x ) < 0   e m   ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 2 , ∞   )   e   f ' ( x ) > 0   e m   ( 0,2 )  

f ' ' ( x ) < 0   e m   ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 0,3   )   e   f ' ' ( x ) > 0   e m   ( 3 , ∞ )  

l i m x → ∞ f ( x ) = 0 l i m x → - ∞ f ( x ) = 0

l i m x → 0 f ( x ) = - ∞

i) f é crescente em _____ e decrescente em ______

Então, queremos saber quais regiões a função f é crescente e em quais ela é decrescente. Mas o que será que indica crescimento de uma função? O sinal da primeira derivada!!!! Se ele for positivo, a função cresce, e se for negativo decresce. Então ao analisarmos as informações do enunciado temos:

f ' ( x ) < 0   e m   ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 2 , ∞   )   e   f ' ( x ) > 0   e m   ( 0,2 )  

Ou seja,

i) f é crescente em _ ( 0,2 ) _ e decrescente em _ ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 2 , ∞   ) _

Passo 2

Agora, vamos para o item 2 da letra a)

f ́ é côncava para cima em _____ e côncava para baixo em _____ .

então, queremos saber quais regiões a função f é côncava para cima ou para baixo. Mas o que será que indica a concavidade de uma função? O sinal da segunda derivada!!!! Se ele for positivo, a função é côncava para cima, e se for negativo, côncava para baixo. Então ao analisarmos as informações do enunciado temos:

f ' ' ( x ) < 0   e m   ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 0,3   )   e   f ' ' ( x ) > 0   e m   ( 3 , ∞ )  

Ou seja, f ́ é côncava para cima em _ ( 3 , ∞ ) _ e côncava para baixo em _   ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 0,3   ) _ .

Para finalizarmos a letra a, temos o item 3

______ é um ponto de máximo local e ___________ é um ponto de inflexão do gráfico de f .

Queremos os pontos de máximo e de inflexão do gráfico de f . Bem, pontos de máximo é aquele onde a primeira derivada é zero, e além disso, a derivada a esquerda desse ponto é positiva e a direita negativa. Então olhando as informações do enunciado temos:

f ' ( x ) < 0   e m   ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 2 , ∞   )   e   f ' ( x ) > 0   e m   ( 0,2 )  

Como a função está bem definida para x = 2 , então x = 2 é um ponto onde a derivada é zero e é um ponto de máximo

Um ponto de inflexão é aquele onde a derivada segunda é zero. Então olhando as informações do enunciado temos:

f ' ' ( x ) < 0   e m   ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 0,3   )   e   f ' ' ( x ) > 0   e m   ( 3 , ∞ )  

Como a função está bem definida para x = 3 , então x = 3 é um ponto onde a derivada segunda é zero e é um ponto de inflexão

Logo

__ x = 2 __ é um ponto de máximo local e ___ x = 3 __ é um ponto de inflexão do gráfico de f .

Passo 3

Por fim, desenhamos o gráfico de f , usando as informações do enunciado

D ( f ) = R - { 0 }

f ( 1 ) = 0 ,   f ( 2 ) = 1 ,   f ( 3 ) = 8 / 9

f ' ( x ) < 0   e m   ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 2 , ∞   )   e   f ' ( x ) > 0   e m   ( 0,2 )  

f ' ' ( x ) < 0   e m   ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 0,3   )   e   f ' ' ( x ) > 0   e m   ( 3 , ∞ )  

l i m x → ∞ f ( x ) = 0 l i m x → - ∞ f ( x ) = 0

l i m x → 0 f ( x ) = - ∞

temos que: x = 0 é uma assíntota vertical. concluímos isso da última informação

temos que : y = 0 é a única assíntota horizontal de f , concluímos isso da penúltima informação

Juntando isso com as informações de crescimento e concavidade que descobrimos nos outros passos podemos desenhar o gráfico.

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b )

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