O gráfico da função derivada f′ de uma função contínua f é dado abaixo.

e) Supondo que f (0) = 0, esboce o gráfico de f

Passo 1

Olá meu amigo, como vai? Yuri aqui e agora vamos em busca do gráfico de f ( x ) a partir do gráfico de sua derivada. É importante que voce tenha acompanhado bem atentamente todo o desenvolvimento do que foi feito nas letras anteriores a essa para que finalmente possamos encontrar o gráfico de f ( x )

  1. O sinal da derivada indica se a função está crescendo (derivada positiva) ou decrescendo (derivada negativa). Podemos observar no gráfico que nos intervalos (0,2), (4,6) e ( 8 , ∞ ) temos f ' x > 0 e nos intervalos (2,4) e (6,8) f ' x < 0 , então:
    1. f é crescente nos intervalos (0,2), (4,6) e ( 8 , ∞ ) e decrescente nos intervalos (2,4) e (6,8)
  2. Se f ' ( x ) passa de positiva para negativa temos um máximo local e se passa de negativo para positivo temos um mínimo local. Então, temos máximo local em x = 2 e x = 6 e temos mínimo local em x = 4 e x = 8 .
  3. A concavidade de uma função é dada pelo sinal da derivada segunda. Se a derivada segunda for negativa, a concavidade da função é voltada para baixo e se for positiva a concavidade é voltada para cima. Como a derivada segunda aponta o crescimento e decrescimento da derivada primeira, então quando a derivada segunda for negativa, a derivada primeira será decrescente e caso seja positiva, a derivara primeira será crescente. Portando, podemos ver pelo gráfico que f ' é crescente nos intervalos ( 3,6 ) e ( 6 , ∞ ) e f ' é decrescente no intervalo ( 0,3 ) então:
    1. f possui concavidade para cima nos intervalos ( 3,6 ) e ( 6 , ∞ ) e concavidade para baixo no intervalo ( 0,3 ) .
  4. Os pontos de inflexão são aqueles em que a segunda derivada é nula, ou seja, a concavidade muda de sinal,
    1. O único ponto de inflexão é x = 3

Passo 2

Se f 0 = 0 , o gráfico de f passa pela origem, então de acordo com as informações levantas nos itens de 1) a 4), temos o seguinte gráfico.

Resposta

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