UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - UERJ - Lista 8, Questão 8e
O gráfico da função derivada f′ de uma função contínua f é dado abaixo.
e) Supondo que f (0) = 0, esboce o gráfico de f
Passo 1
Olá meu amigo, como vai? Yuri aqui e agora vamos em busca do gráfico de a partir do gráfico de sua derivada. É importante que voce tenha acompanhado bem atentamente todo o desenvolvimento do que foi feito nas letras anteriores a essa para que finalmente possamos encontrar o gráfico de
- O sinal da derivada indica se a função está crescendo (derivada positiva) ou decrescendo (derivada negativa). Podemos observar no gráfico que nos intervalos (0,2), (4,6) e temos e nos intervalos (2,4) e (6,8) , então:
- f é crescente nos intervalos (0,2), (4,6) e e decrescente nos intervalos (2,4) e (6,8)
- Se passa de positiva para negativa temos um máximo local e se passa de negativo para positivo temos um mínimo local. Então, temos máximo local em e e temos mínimo local em e .
- A concavidade de uma função é dada pelo sinal da derivada segunda. Se a derivada segunda for negativa, a concavidade da função é voltada para baixo e se for positiva a concavidade é voltada para cima. Como a derivada segunda aponta o crescimento e decrescimento da derivada primeira, então quando a derivada segunda for negativa, a derivada primeira será decrescente e caso seja positiva, a derivara primeira será crescente. Portando, podemos ver pelo gráfico que é crescente nos intervalos e e é decrescente no intervalo então:
- f possui concavidade para cima nos intervalos e e concavidade para baixo no intervalo .
- Os pontos de inflexão são aqueles em que a segunda derivada é nula, ou seja, a concavidade muda de sinal,
- O único ponto de inflexão é
Passo 2
Se , o gráfico de f passa pela origem, então de acordo com as informações levantas nos itens de 1) a 4), temos o seguinte gráfico.
Resposta
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Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ como foi feito nos Exercícios 4 - 11 . Você pode sugerir uma fórmula para f ‘ ( x ) a partir de seu gráfico? f x = e x
Seja f x = x 2 .(a) Estime os valores de f ' ( 0 ) , f ' 1 2 , f ' ( 1 ) e f ' ( 2 ) fazendo uso de uma ferramenta gráfica para dar zoom no gráfico de f .(b) Use a simetria para deduzir os valores de
Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ como foi feito nos Exercícios 4 - 11 . Você pode sugerir uma fórmula para f ‘ ( x ) a partir de seu gráfico? f x = s e n x
Trace o gráfico da função f x = { x 2,- 1 ≤ x0 - x 2 ,0 ≤ x ≤ 1 f é contínua em x=0 ? f é derivável em x=0 ?
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = x 2 ,- 3 ≤ x ≤ 2