UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - UERJ - Lista 8, Questão 11l
Seguindo o roteiro anterior, esboce os gráficos das funções dadas a seguir.
Passo 1
Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Bom para resolver, a primeira coisa que precisamos relembrar aqui são as etapas do roteiro:
Show, temos todas as nossas etapas acima e vamos resolver cada uma
Passo 2
- Vamos começar achando o domínio da nossa função:
Como temos uma fração, a restrição que temos aqui é que o denominador não pode ser igual a zero:
Como nunca é igual a zero e sempre positivo, qualquer valor de satisfaz a relação acima, então
Passo 3
(b) Agora vamos achar as intersecções do gráfico de com os eixos coordenados.
Para acharmos, temos que zerar as variáveis e achar cada componente. Começando por :
Show, achamos valor que o gráfico corta o eixo . Agora vamos
Como temos uma constante no numerador, a função nunca zera. Logo, ela não corta o eixo
Passo 4
(d) Agora vamos verificar se o gráfico possui assíntotas.
Vamos começar pela assíntota horizontal. No caso, precisamos calcular o seguinte limite:
Aonde tem que ser um valor inteiro. Vamos lá:
Pelos valores, a função tem duas assíntotas horizontais:
Agora partindo para a Assíntota Vertical. No caso, temos que calcular:
Como não temos um ponto, não temos assíntota Vertical.
Passo 5
(e) Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento.
Para isso, temos que começar derivando a nossa função:
Vamos começar definindo quando ela zera:
Como é sempre maior que zero, a função acima nunca zera.
Para quando é positiva:
Reparem que nosso denominador está elevado ao quadrado, então quem vai determinar o resultado da relação é o numerador.
No caso, é sempre maior que zero, então a relação anterior acontece para qualquer valor de .
Passo 6
(f) Encontre os pontos de máximo e mínimo locais.
Baseado no que achamos no Passo 2, como não há variação de quando a função cresce ou decresce, a função não possui máximos e mínimos locais
Passo 7
(g) Analise a concavidade e encontre os pontos de inflexão.
Vamos começar derivando a nossa primeira derivada:
Agora precisamos analisar quando a nossa segunda derivada é positiva, negativa ou igual a zero.
Vamos começar definindo quando ela zera:
Para quando é positiva:
Para quando é negativa:
Analisando os valores e o domínio da função:
Passo 8
(h) Agora vamos esboçar o gráfico:
