Seguindo o roteiro anterior, esboce os gráficos das funções dadas a seguir.

f(x) = 1 / (1 + e^(-x))

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Bom para resolver, a primeira coisa que precisamos relembrar aqui são as etapas do roteiro:

Show, temos todas as nossas etapas acima e vamos resolver cada uma

Passo 2

  1. Vamos começar achando o domínio da nossa função:

f x = 1 1 + e - x

Como temos uma fração, a restrição que temos aqui é que o denominador não pode ser igual a zero:

1 + e - x ≠ 0

e - x ≠ - 1

1 e x ≠ - 1

Como e x nunca é igual a zero e sempre positivo, qualquer valor de x satisfaz a relação acima, então

D = { x ∈ R }

Passo 3

(b) Agora vamos achar as intersecções do gráfico de f com os eixos coordenados.

Para acharmos, temos que zerar as variáveis e achar cada componente. Começando por x = 0 :

f 0 = 1 1 + e - 0 = 1 1 + 1 = 1 2

Show, achamos valor que o gráfico corta o eixo y . Agora vamos y = 0

f x = 1 1 + e - x = 0

Como temos uma constante no numerador, a função nunca zera. Logo, ela não corta o eixo x

Passo 4

(d) Agora vamos verificar se o gráfico possui assíntotas.

Vamos começar pela assíntota horizontal. No caso, precisamos calcular o seguinte limite:

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = A

Aonde A tem que ser um valor inteiro. Vamos lá:

lim x → + ∞ ⁡ 1 1 + e - x = lim x → + ∞ ⁡ 1 1 + 1 e ∞ = 1

lim x → - ∞ ⁡ 1 1 + e - x = lim x → - ∞ ⁡ 1 1 + e ∞ = 0

Pelos valores, a função tem duas assíntotas horizontais:

y = 0

y = 1

Agora partindo para a Assíntota Vertical. No caso, temos que calcular:

lim x → x 0 ⁡ 1 1 + e - x

Como não temos um ponto, não temos assíntota Vertical.

Passo 5

(e) Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento.

Para isso, temos que começar derivando a nossa função:

f ' x = 1 1 + e - x '

f ' x = e - x 1 + e - x 2

Vamos começar definindo quando ela zera:

e - x 1 + e - x 2 = 0

Como e - x é sempre maior que zero, a função acima nunca zera.

Para quando é positiva:

e - x 1 + e - x 2 > 0

Reparem que nosso denominador está elevado ao quadrado, então quem vai determinar o resultado da relação é o numerador.

No caso, e - x é sempre maior que zero, então a relação anterior acontece para qualquer valor de x .

Passo 6

(f) Encontre os pontos de máximo e mínimo locais.

Baseado no que achamos no Passo 2, como não há variação de quando a função cresce ou decresce, a função não possui máximos e mínimos locais

Passo 7

(g) Analise a concavidade e encontre os pontos de inflexão.

f ' x = e - x 1 + e - x 2

Vamos começar derivando a nossa primeira derivada:

f ' ' x = e - x 1 + e - x 2 '

f ' ' x = e - 2 x - e x + 1 1 + e - x 3

Agora precisamos analisar quando a nossa segunda derivada é positiva, negativa ou igual a zero.

Vamos começar definindo quando ela zera:

e - 2 x - e x + 1 1 + e - x 3 = 0

x = 0

Para quando é positiva:

e - 2 x - e x + 1 1 + e - x 3 > 0

x < 0

Para quando é negativa:

e - 2 x - e x + 1 1 + e - x 3 < 0

x > 0

Analisando os valores e o domínio da função:

P o s i t i v o : x < 0   ( C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a )

Z e r o : x = 0   ( P o n t o   d e   I n f l e x ã o )

N e g a t i v o : x > 0   ( C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o )

Passo 8

(h) Agora vamos esboçar o gráfico:

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o

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