Seja

f(x) = x * ln(2 - 1/x)

a) Determine o domínio da função f.

b) Determine as equações das retar assíntotas verticais do gráfico de f , caso existam.

c) Mostre que a reta y = ln(2) * x - 1 / 2 é assíntota oblíqua do gráfico de f para a direita (ou seja, quando x → +∞ )

d) Sabendo que f é crescente em todo o seu domínio e que a reta y = ln(2) * x - 1 / 2 é assíntota obliqua do gráfico de f para os dois lados (ou seja, quando x → infinito e x → -∞ ), esboce abaixo o gráfico de f e suas retar assíntotas verticais, caso existam.

Passo 1

a) Sabemos inicialmente que o domínio do ln vai de zero a + ∞ , certo?

Então

2 - 1 x > 0 → 2 x x - 1 > 0 → 2 x - 1 > 0   e   x > 0 → x > 1 2 o u 2 x - 1 < 0   e   x < 0 → x < 0

Logo, o D o m f = ( - ∞ , 0 ) ∪ 1 2 ,   ∞

Passo 2

b) Para determinarmos as assíntotas verticais, os valores para onde nosso x vai tender é aquele onde a função não existe, certo? No nosso caso seriam x = 0 e x = 1 2 e precisamos encontra infinito como resultado desses limites.

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ x l n 2 - 1 x

lim x → 0 - ⁡ ln ⁡ 2 - 1 x 1 x

Aplicando L’hospital

lim x → 0 - ⁡ 1 2 - 1 2 1 x 2 - 1 x 2

lim x → 0 - ⁡ - 1 2 - 1 x = 0

Opa, se não é igual a infinito, não temos uma assíntota vertical aqui.Bora tentar agora com o limite indo pra 1 2

lim x → 1 2 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 2 + ⁡ x l n 2 - 1 x = lim x → 1 2 + ⁡ - ∞

Agora sim!! Então temos em x = 1 2 uma assíntota vertical.

Passo 3

c) O que vamos precisar lembrar qui incialmente é que

m = lim x → ∞ ⁡ f x x → lim x → ∞ ⁡ x l n 2 - 1 x x → lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 - 1 x = l n 2

E

n = lim x → ∞ ⁡ f x - m x

= lim x → ∞ ⁡ x l n 2 - 1 x - l n 2 x

= lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 2 - 1 x - l n 2

= lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 - 1 x - l n 2 1 x

Aplicando a regra de L’hospital

= lim x → ∞ ⁡ 1 2 - 1 x 1 x 2 - 1 x 2

= lim x → ∞ ⁡ - 1 2 - 1 x = - 1 2

Passo 4

d)

Resposta

a )   D o m f = ( - ∞ , 0 ) ∪ 1 2 ,   ∞

b )   x = 1 2

c )   - 1 2

d )  

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