Seja
a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
b) Determine os pontos de máximo e de mínimo de
c) Determine todos os pontos de inflexão de
Passo 1
a) Para saber sobre o crescimento ou decrescimento de uma função precisamos saber sobre o sinal da derivada dessa função em um determinado intervalo. Por isso, para começar, vamos derivar essa função.
Agora vamos ver quando ela é positiva.
Passo 2
Portanto, o intervalo de crescimento de é
E o intervalo de decrescimento é
Passo 3
b) Sabendo que
Podemos afirmar que é o único ponto crítico existente. Sabemos que nesse ponto, a derivada muda de negativa para positiva, portanto esse é um ponto de mínimo da função. Como o domínio de é todo o conjunto dos números reais, não há fronteiras a serem analisadas, logo
é mínimo global.
Passo 4
c) Parar descobrir o(s) ponto(s) de inflexão precisamos estudar a concavidade da função, o que é feito a partir da análise do sinal da segunda derivada. Por isso, vamos fazer a segunda derivada de .
Passo 5
Vamos analisar seu sinal.
Quando a segunda derivada é positiva, logo a concavidade é para cima.
Quando a segunda derivada é negativa, logo a concavidade é para baixo.
A partir dessas duas conclusões, podemos dizer que o ponto é o único ponto de inflexão de .
Resposta
- Crescimento:
- é mínimo global
- é o único ponto de inflexão de
Decrescimento: