1 5 . Seja f : R → R uma função tal que f'(x) = e^(-5 * x^2) . Então podemos afirmar que:

A: f(x) < f(x + 320) ≤ f(x) + 320 para todo x ∈ R .

B: f(x + 320) > f(x) + 320 .

C: Existe x ∈ R tal que f(x + 1) - f(x) > 1 .

D: 0 < f(x-1) - f(x) < 5 para todo x ∈ R .

E : f(322) - f(320) > 11 / 5 .

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa questão juntos!

A função f ' ( x ) que o enunciado nos deu, não é uma função que que se integral com facilidade e teríamos que usar métodos que fogem da matéria de cálculo 1 .

Para avaliar f ( x ) podemos esboçar o gráfico dela de forma simplificada a partir do gráfico de f ' ( x ) , tendo esse gráfico simplificado de f ( x ) podemos ver qual alternativa é a correta.

O gráfico de f ' ( x ) é da seguinte forma:

Passo 2

Vamos avaliar o gráfico de f ' ( x ) .

A gente ver no gráfico que ele tende a zero pra x → ∞ e para x → - ∞ , isso quer fizer que o gráfico de f ( x ) nesse limites tendem a um valor constante já que a derivada de uma constante é zero.

Só que para x → ∞ tende a uma constante positiva C e para x → - ∞ tende a uma constante negativa - C , isso vem por conta da simetria do gráfico de f ' ( x ) .

No ponto x = 0 temos o máximo de f ' e quando a derivada tem um máximo ou um mínimo em um certo ponto a função f é igual a zero nesse ponto, então f 0 = 0 .

Como já vimos mais acima a função f ( x ) vem de uma tendência ao valor negativo - C conforme x cresce e depois vai para uma tendencia ao valor positivo C e o único ponto onde ela encosta no eixo x é em x = 0 , então esse ponto é um ponto de inflexão.

Com essas análises podemos ter o seguinte esboço do gráfico de f ( x ) .

Passo 3

As alternativas do enunciado estão relacionadas ao deslocamento do gráfico, da seguinte maneira, quando temos fazemos a seguinte operação f ( x ± a ) nós fazemos o gráfico andar para direita ( - ) ou para a esquerda ( + ) .

Quando fazemos a operação f x ± a nós fazemos o gráfico andar para cima + ou para baixo ( - ) .

Então é com base nisso que vamos encontrar a alternativa correta.

Passo 4

Vamos começar com o item A .

Temos o seguinte:

f x < f x + 320 ≤ f x + 320

Quando fazemos f ( x + 320 ) deslocamos o gráfico para a esquerda então o máximo que a função pode atingir ainda é ± C , agora quando fazemos f x + 320 nós pegamos esse valor máximo de C e somamos 320 , então ± C < ± C + 320 , logo:

f x + 320 ≤ f x + 320

Quando fazemos a função andar para a esquerda f ( x + 320 ) a gente bem dizer faz valores de x menores atingirem valores maiores em x , então:

f x < f x + 320

Então essa alternativa A é a correta! Que sorte, finalizamos o trabalho logo com a primeira.

Resposta

A : f x < f x + 320 ≤ f x + 320 para todo x ∈ R .

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