Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:

y = x * raiz(5 - x)

Passo 1

Fala aí, galerinha!

Nós temos a função y = f x = x 5 - x

E precisamos seguir um roteiro pra esboçar o gráfico dessa função. Vamos ver esse roteiro na prática?

Passo 2

  1. Nosso primeiro passo é calcular o domínio. Lembrando que domínio são os valores que x pode assumir. Como nossa raiz não pode ser negativa, temos que:
  2. 5 - x ≥ 0

    5 ≥ x

    x ≤ 5

    Assim, o domínio é x     x ≤ 5 } = ( - ∞ , 5 ] .

    Passo 3

  3. Agora precisamos achar os interceptos, ou seja, os pontos em que a curva passa nos eixos.
  4. . Intercepto y : f 0 = 0

    x = 0 e y = 0

    ; intercepto x : f x = 0 ,

    então: x 2 5 - x = 0

    → x = 0 ou x = 5 .

    Passo 4

  5. f ( - x ) ≠ f ( x ) , então a curva não é simétrica.
  6. Passo 5

  7. Não há assíntotas.
  8. Passo 6

  9. Encontrando os intervalos de crescimento e decrescimento:
  10. f x = x 5 - x 1 2

    f ' x = 1 5 - x 1 2 + x 1 2 5 - x 1 2 - 1 = 1 2 5 - x 1 2 - x + 2 5 - x

    Quando a derivada é positiva, a curva é crescente. Quando a derivada é negativa, a curva é decrescente. Então vamos resolver a inequação a seguir, pra achar esses intervalos:

    f ' x = 10 - 3 x 2 5 - x > 0

    x < 10 3

    Sendo assim, f cresce em - ∞ , 10 3 , e decresce em 10 3 , 5 .

    Passo 7

  11. Como a função cresce depois decresce, há um valor de máximo local em 10 3 .
  12. f 10 3 = 10 9 15 ≈ 4,3

    Passo 8

  13. Achando concavidades e pontos de inflexão por meio da derivada segunda:
  14. f ' ' x = 2 5 - x 1 2 - 3 - 10 - 3 x   2   1 2 5 - x - 1 2 - 1 2 5 - x 2

    f ' ' x = 5 - x - 1 2 [ - 6 5 - x + 10 - 3 x ] 4 ( 5 - x ) = 3 x - 20 4 ( 5 - x ) 3 2

    f ' ' x < 0 para x < 5 , assim, a função tem concavidade para baixo em ( - ∞ , 5 ) , e não possui ponto de inflexão,

    Passo 3

  15. Esboço da função:

Resposta

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