Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = x / (x^2 - 9)

Passo 1

A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva. Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.

Passo 2

Como o denominador não pode se anular, devemos ter x 2 - 9 ≠ 0 . Assim, x ≠ ± 3 . Desta forma, o domínio da função

D f = R - { - 3,3 }

Passo 3

A única interseção com os eixos coordenados ocorre em ( 0,0 ) .

Passo 4

Observe que a função é ímpar:

f - x = - x - x 2 - 9 = - x x 2 - 9 = - f ( x )

Portanto, a curva é simétrica em relação à origem.

Passo 5

Vamos agora procurar possíveis assíntotas. Para x indo para ± ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ x x 2 - 9 = lim x → + ∞ ⁡ x x 2 - 9 = 0

Assim, tanto para - ∞ como para + ∞ , a reta y = 0 é assíntota horizontal da função.

Como tanto x = - 3 como x = 3 não estão no domínio da função, temos que verificar se a curva tem assíntotas verticais nesses pontos. Para x = 3 :

lim x → 3 - ⁡ x x 2 - 9 = 3 0 - = - ∞

lim x → 3 + ⁡ x x 2 - 9 = 3 0 + = + ∞

Analogamente, para x = - 3 :

lim x → - 3 - ⁡ x x 2 - 9 = - 3 0 + = - ∞

lim x → - 3 + ⁡ x x 2 - 9 = - 3 0 - = + ∞

Assim, as retas x = - 3 e x = 3 são assíntotas verticais da curva.

Passo 6

Vamos estudar agora os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Calculando a primeira derivada:

y ' = 1 ⋅ x 2 - 9 - x ⋅ 2 x x 2 - 9 2 = - x 2 + 9 x 2 - 9 2

Como x 2 + 9 > 0 e x 2 - 9 2 > 0 , temos que y ' < 0 , de modo que a função será sempre decrescente em todo o seu domínio.

Passo 7

Por fim, vamos analisar a concavidade da curva. Fazendo a segunda derivada:

y ' ' = - 2 x   x 2 - 9 2 - x 2 + 9 ⋅ 2 x 2 - 9 ⋅ 2 x x 2 - 9 4 = - 2 x   x 2 - 9 - 4 x x 2 + 9 x 2 - 9 3

Assim,

y ' ' = 2 x   ( x 2 + 27 ) x - 3 3 x + 3 3

Como x 2 + 27 > 0 , apenas o denominador vai importar para o sinal de y ' ' :

Resposta

O esboço da curva:

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