Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = 3 * sen(x) - sen^3(x)

Passo 1

A questão pede para esboçarmos o gráfico da função usando o roteiro apresentado na seção. Assim, devemos analisar o domínio, possíveis simetrias, raízes, intervalos de crescimento, concavidade, comportamentos no infinito, etc...

Passo 2

Como a função seno admite qualquer x real, o domínio da função é real:

D f = R

Passo 3

Observe que como o seno é periódico e a função dada só depende de s e n   x , então a função é periódica de período 2 π . Assim, só precisamos nos preocupar com o intervalo 0 ≤ x ≤ 2 π .

Vale observar também que a função é ímpar pois o seno é ímpar.

Passo 4

Vamos achar a interseção com eixo das ordenadas fazendo x = 0 , de modo que y = 0 .Para as raízes, temos que

3   s e n   x   -   s e n 3 x = 0 ⇒ s e n   x   ( 3 - s e n 2 x ) = 0

Assim, temos que s e n   x = 0 ou s e n 2 x = 3 ⇒ s e n   x =   ± 3 (o que não é possível pois o seno deve ser menor que 1). Assim, temos apenas que s e n   x = 0 , de modo que no intervalo que estamos considerando, temos apenas x = 0 e x = π . Assim, as interseções com os eixos são ( 0,0 ) e ( π , 0 ) .

Passo 5

Como se trata de uma função trigonométrica pura, não faz sentido falar em assíntotas ou analisar o comportamento no infinito: basta fazer o gráfico no intervalo 0 ≤ x ≤ 2 π e repeti-lo.

Passo 6

Vamos estudar agora o crescimento e decrescimento da curva fazendo a derivada da função:

y ' = 3   c o s   x   -   3   s e n 2 x   c o s   x   =   3   c o s   x   ( 1 - s e n 2 x )   =   3   c o s 3 x  

Assim, o sinal de y ' será dado pelo sinal de c o s   x :

Assim, a função cresce no primeiro e quarto quadrantes, e decresce nos demais. A função terá um máximo local em x = π / 2 e um mínimo em x = 3 π / 2 .

No máximo, a função vale 2 e no mínimo, - 2 .

Passo 7

Para a concavidade usaremos a segunda derivada:

y ' ' = 9   c o s 2 x   ( - s e n   x ) =   - 9   s e n   x   c o s 2 x

Assim, quem vai controlar o sinal da concavidade é o seno pois c o s 2 x ≥ 0 . Note que o sinal da concavidade será oposto ao sinal do seno. Desta forma, a concavidade será para cima (positiva) no terceiro e quarto quadrantes, e para baixo (negativa) nos demais.

Resposta

Fazendo o gráfico no intervalo 0 ≤ x ≤ 2 π e repetindo ele para a reta real toda, temos que:

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