Considere as afirmativas abaixo:

I – Uma matriz A é invertível somente se para o sistema A x = b a solução for sempre x = A - 1 b .

II – A inversa da matriz identidade 1 0 0 0 1 0 0 0 1 é - 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1

III – A matriz 1 2 - 1 2 - 1 3 4 3 1 é invertível e a sua inversa é triangular superior.

Estão corretas, apenas:

a) I e II

b) I

c) II e III

d) III

e) I, II e III

f) II

g) I e III

Passo 1

Analisando cada uma das afirmativas:

I – Verdadeira. Vamos escrever a equação dada:

A x = b

Em uma conta normal, passaríamos o A pro outro lado dividindo né? Mas quando se trata de matrizes, ele não pode ir dividindo, ele vai como a inversa

x = A - 1 b

Mass, isso só é possível se o A for invertível concorda? Assim como o A só vai ser invertível se a solução do sistema for essa :)

II – Nananinanão! A inversa da matriz identidade é a própria matriz identidade beleza?

III – Bora lá tentar inverter essa matriz. Colocando ela lado a lado com uma matriz identidade 3 x 3 :

1 2 - 1 2 - 1 3 4 3 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Agora é só escalonar a matriz da esquerda até ela se tornar uma matriz identidade:

L 2 → L 2 - 2 L 1 1 2 - 1 0 - 5 5 4 3 1 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1

L 3 → L 3 - 4 L 1 1 2 - 1 0 - 5 5 0 - 5 5 1 0 0 - 2 1 0 - 4 0 1

L 3 → L 3 - L 2 1 2 - 1 0 - 5 5 0 0 0 1 0 0 - 2 1 0 - 2 - 1 1

Opa, na matriz da esquerda ficamos um uma linha de 0’s ali embaixo :( Isso quer dizer que a matriz não é invertível!! Então a afirmativa é falsa ok?

Também poderíamos matar essa afirmativa calculando o determinante da matriz. Como ele é 0, a matriz não é invertível.

Como só a I é verdadeira, a alternativa correta é a letra b

Resposta

b) I

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