UnB; Introdução a Álgebra Linear; 1ª Lista de Exercícios – Turma E; Exercício 19
19) Considere a matriz
Onde . Mostre que é invertível e encontre a sua inversa.
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Nesse exercício, precisamos primeiro verificar se a matriz é invertível.
Mas, vocês lembram qual condição uma matriz precisa obedecer pra ser considerada invertível?
Bom, para sabermos se uma matriz é invertível precisamos encontrar o seu determinante. Se o determinante de uma matriz for diferente de zero, então a matriz é invertível. Caso contrário ela não possui uma matriz inversa.
Dessa forma, podemos concluir que somente uma matriz quadrada possui inversa, já que somente podemos calcular o determinante de uma matriz quadrada. Uma matriz quadrada é uma matriz que possui a mesma quantidade de linhas e colunas.
Legal, é justamente o nosso caso!
Passo 2
Outra característica importantíssima da nossa matriz é que ela é uma Matriz Diagonal.
Ou seja, ela tem todos os elementos iguais a zero, exceto aos que pertencem a diagonal principal.
Ok, você deve estar se perguntando como sabemos que os números da diagonal principal não são zero.
Sabemos disso devido a seguinte informação do enunciado:
Então todos os elementos dessa diagonal precisam ser diferentes de zero para que a multiplicação desses valores também seja diferente de zero.
Bacana, né?
Além disso, esse produto é a determinante da matriz diagonal. Como o produto é diferente de zero, essa matriz é invertível!
Passo 3
Nesse passo vamos encontrar a matriz inversa.
A matriz inversa de , chamada de , é aquela que, quando multiplicada por , resultará em uma matriz identidade.
Para relembrar:
Matriz identidade é aquela que possui todos os seus elementos iguais a , exceto pela diagonal principal que tem todos os seus valores iguais a . É uma matriz do tipo:
Então, temos que:
E, por sistema simples:
Isolando as nossas novas variáveis:
Independentemente de quais sejam as novas variáveis, repare que o termo da matriz inversa será sempre sobre o valor da matriz original.
Então podemos dizer que é:
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?
