USP, Álgebra Linear 1 – PREC – 2017 – Questão 2
Considere a matriz:
Temos que a soma das entradas na diagonal principal da matriz é igual a:
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
Passo 1
Fala aí, galera! Tudo bem com vocês?
Essa questão é uma daquelas que eu gosto de chamar de questão “força bruta”. Força bruta porque como o enunciado tá pedindo pra gente quanto dá a soma dos elementos da diagonal principal da matriz inversa da , não tem muito jeito: a gente vai precisar calcular . Então se prepara porque lá vem conta! Hahah
Passo 2
Beleza, vamos precisar calcular e deve ter pelo menos uma meia dúzia de formas diferentes de fazer isso hahah. Aqui vamos usar a seguinte: a gente vai colocar nossa matriz ao lado da matriz identidade, numa matriz aumentada. Então, vamos escalonar até que ela vire a identidade. Quando isso acontecer, a matriz que aparecer no lugar onde antes estava a identidade é .
Show? Começamos então montando a tal matriz aumentada:
Agora, vamos realizar as seguintes duas operações elementares:
- Somar linhas e ();
- Multiplicar linha por e somar com a linha ().
Feito isso, temos:
Agora, vamos permutar as linhas e ():
Multiplicando a linha por e somando com a linha (), obtemos:
Agora, vamos multiplicar a linha por e somar com a linha ():
Show! Agora a gente faz as duas seguintes operações:
- Multiplica a linha por e soma com a linha ();
- Soma as linhas e ().
Feito isso, temos:
Ufa, haja conta!! Já tô cansado... Mas não desanima não que a gente já tá quase acabando!
Vamos agora multiplicar a linha por e somar com a linha ():
Olha só! A matriz da esquerda já tá quase uma identidade, hein? Vamos agora só multiplicar as linhas e por , a linha por e a linha por e já tá pronto:
Passo 3
Ufa! Acabou a parte difícil. Como a matriz do lado esquerdo virou a identidade, então temos que:
Como a questão queria saber a soma dos elementos da diagonal principal de , agora estamos em condição de responder:
Et voilà! A resposta certa é a (b).
Que tal irmos agora para mais uma questão? (Preferencialmente uma com menos conta, né? Hahah)
Resposta
(b) ;