USP, Sem Campus, Álgebra Linear 2, PSUB - 2017, Questão 13.
13 – Considere as matrizes:
Sabendo-se que
E que a matriz é diagonal, temos que a soma das duas entradas na primeira coluna da matriz é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema, foi dada uma matriz e nosso objetivo é calcular .
Mas será que vamos ter que multiplicar por ele mesmo vezes? 🤔
Para isso, temos a informação que é diagonalizavel, ou seja, resulta em uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal são os autovalores de .
Podemos usar essa informação para aplicar uma regra muito interessante que nos diz
Em que é a matriz diagonal de .
Sacou? Encontramos os autovalores de , montamos e fazemos o caminho inverso de para encontrar .
Veja só! 👀
Passo 2
Podemos obter fazendo ou encontrando os autovalores
Pela segunda opção, temos
Obtendo as raízes desse polinômio...
Logo, é dado por
Aplicando a regrinha para , temos
Esse método nos ajuda, pois em uma matriz diagonal, basta aplicarmos a potência em seus valores
Tranquilo até aqui? 😎
Passo 3
Substituindo e
Queremos a soma dos termos da primeira coluna de , ou seja
Como , então
Portanto, a alternativa b) está correta!!
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
b)