UnB – Introdução à Álgebra Linear – Listas de IAL, Lista 1, 30a
Resolva o sistema invertendo a matriz dos coeficientes:
(a)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pede pra gente encontrar a inversa da matriz dos coeficientes. Mas antes de escrever essa matriz, precisamos nos lembrar que existe um teorema que nos ajuda a resolver esse problema. Ele nos diz que, “se for uma matriz invertível , então para cada matriz de tamanho , o sistema de equações tem exatamente uma solução, a saber ”.
Então, o que temos que fazer é aplicar esse teorema no nosso sistema.
Vamos começar escrevendo a matriz dos coeficientes:
Repare que o nosso sistema tem a forma e queremos chegar na forma para encontrar a inversa.
Passo 2
Então, eu posso multiplicar dos dois lados sem alterar nossa equação matricial:
Agora, lembra que uma matriz vezes sua inversa é igual a matriz identidade? Ou seja, por definição:
Como a matriz identidade é o elemento neutro da equação matricial (é como se eu tivesse multiplicando por algum número real), então temos:
E aí chegamos no formato que nós queríamos, . Só falta definir quem é .
Passo 3
Agora temos outro teorema para nos ajudar, que diz que a inversa de uma matriz pode ser calculada pela fórmula:
Onde e .
Assim, para o nosso caso, temos:
Jogando esse resultado na nossa equação matricial do passo , temos:
Fazendo a multiplicação de matrizes, temos:
E resolvemos nosso sistema, com e .
Valeu, galera. Até a próxima! 😉