UFES. Álgebra Linear. Prova: P1 Manhã. 2017.2. Questão: 4A.
Suponha que as operações matriciais indicadas estão definidas.
(a) Vale a relação ?
Passo 1
Iae, meus queridos! Tudo certinho?
Para resolver esta questão, vamos verificar a igualdade da equação , para facilitar a visualização dos cálculos vamos calcular um lado de cada vez e vamos também estipular os valores das matrizes e e ver se a igualdade é satisfeita.
Se essa igualdade é satisfeita podemos usar quaisquer matrizes para provar, neste caso vamos usar duas matrizes aleatórias onde
Vemos também que vamos precisar da matriz inversa de para calcular a igualdade
A inversa de uma matriz, pode ser calculada facilmente trocando a posição dos valores da sua diagonal principal, trocando o sinal dos valores da sua diagonal secundária e dividindo a matriz pelo seu determinante.
Vamos escrever de outra forma para ficar mais claro!
Agora está mais claro, né?
Vamos calcular
Concluindo o cálculo da matriz inversa de , temos
Passo 2
Pronto, agora que sabemos o valor de , podemos verificar a igualdade.
Vamos resolver um lado de cada vez para facilitar a visualização das operações.
Lado esquerdo:
Neste caso, a ordem das operações é da esquerda para a direita
Encontramos a matriz resultante de , agora vamos multiplicar por
Encontramos um lado da igualdade da equação, agora vamos em busca do outro lado.
Passo 3
Calculando o lado esquerdo, temos:
Encontramos a matriz resultante de , agora vamos multiplicar por
Encontramos os resultados dos dois lados da equação, agora comparando-os em sua forma calculada, temos
A igualdade é satisfeita, ou seja, a relação vale.
É isso! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
A relação é válida.