Encontre a inversa das matrizes:

G = 1 / 5 1 / 5 - 2 / 5 1 / 5 1 / 5 1 / 10 1 / 5 - 4 / 5 1 / 10

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma matriz 3 × 3 e pediu pra gente encontrar a inversa dessa matriz. Mas como é que a gente faz isso?

Bom, a primeira coisa é supor que essa matriz G seja invertível. E aí, nós temos uma coisa chamada “algoritmo da inversão”.

Nada mais é que encontrar uma sequência de operações elementares com linhas que reduza a matriz G à matriz identidade I n .   Porque assim, consequentemente, nós vamos reduzir a matriz identidade à inversa de G , no caso G - 1 .

Calma, que vai ficar mais claro à medida que nós formos fazendo.

Passo 2

Galera, nós queremos reduzir G à matriz identidade por operações com linhas e, simultaneamente, aplicar essas operações a I para produzir G - 1 . Para conseguir isso, juntamos a matriz identidade à direita de G , com o que produzimos uma matriz da forma:

G   |   I

Em seguida, efetuamos operações com as linhas dessa matriz até que o lado esquerdo esteja reduzido a I e o direito a G - 1 , de modo que a matriz final terá a forma:

I   |   G - 1

Então, temos

G   |   I = 1 / 5 1 / 5 - 2 / 5 1 / 5 1 / 5 1 / 10 1 / 5 - 4 / 5 1 / 10 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 3

Vamos começar multiplicando a linha 1 por 5 :

1 / 5 1 / 5 - 2 / 5 1 / 5 1 / 5 1 / 10 1 / 5 - 4 / 5 1 / 10 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → L 1 → 5 L 1 1 1 - 2 1 / 5 1 / 5 1 / 10 1 / 5 - 4 / 5 1 / 10 5 0 0 0 1 0 0 0 1

Agora vamos multiplicar a linha 2 por 10:

1 1 - 2 1 / 5 1 / 5 1 / 10 1 / 5 - 4 / 5 1 / 10 5 0 0 0 1 0 0 0 1 → L 2 → 10 L 2 1 1 - 2 2 2 1 1 / 5 - 4 / 5 1 / 10 5 0 0 0 10 0 0 0 1

E fazer a mesma coisa com a linha 3 :

1 1 - 2 2 2 1 1 / 5 - 4 / 5 1 / 10 5 0 0 0 10 0 0 0 1 → L 3 → 10 L 3 1 1 - 2 2 2 1 2 - 8 1 5 0 0 0 10 0 0 0 10

Passo 4

Vamos agora multiplica a linha 1 por 2 e subtrair da linha 2 :

1 1 - 2 2 2 1 2 - 8 1 5 0 0 0 10 0 0 0 10 → L 2 → L 2 - 2 L 1 1 1 - 2 0 0 5 2 - 8 1 5 0 0 - 10 10 0 0 0 10

E fazer o mesmo com a linha 3 :

1 1 - 2 0 0 5 2 - 8 1 5 0 0 - 10 10 0 0 0 10 → L 3 → L 3 - 2 L 1 1 1 - 2 0 0 5 0 - 10 5 5 0 0 - 10 10 0 - 10 0 10

Agora, vamos trocar a linha 3 com a linha 2 :

1 1 - 2 0 0 5 0 - 10 5 5 0 0 - 10 10 0 - 10 0 10 → L 3 ↔ L 2 1 1 - 2 0 - 1 0 5 0 0 5 5 0 0 - 10 0 1 0 - 10 10 0

Subtraindo a linha 3 da linha 2 :

1 1 - 2 0 - 10 5 0 0 5 5 0 0 - 10 0 10 - 10 10 0 → L 2 → L 2 - L 3 1 1 - 2 0 - 10 0 0 0 5 5 0 0 0 - 10 10 - 10 10 0

Agora vamos multiplicar a linha 2 por - 1 / 10 e a linha 3 por 1 / 5 :

1 1 - 2 0 - 10 0 0 0 5 5 0 0 0 - 10 10 - 10 10 0 → L 2 → - 1 10 L 2 L 3 → 1 5 L 3 1 1 - 2 0 1 0 0 0 1 5 0 0 0 1 - 1 - 2 2 0

Só falta zerar acima dos pivôs. Para isso, vamos multiplicar a linha 3 por 2 e somar com a linha 1 :

1 1 - 2 0 1 0 0 0 1 5 0 0 0 1 - 1 - 2 2 0 → L 1 → L 1 + 2 L 3 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 4 0 0 1 - 1 - 2 2 0

E por fim, subtraímos a linha 2 da linha 1 :

1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 4 0 0 1 - 1 - 2 2 0 → L 1 → L 1 - L 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 3 1 0 1 - 1 - 2 2 0

Então, encontramos nossa inversa:

I   |   G - 1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 3 1 0 1 - 1 - 2 2 0

Ou seja,

G - 1 = 1 3 1 0 1 - 1 - 2 2 0

E encerramos o exercício. Até a próxima, galera! 😉

Resposta

G - 1 = 1 3 1 0 1 - 1 - 2 2 0

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