UnB – Introdução à Álgebra Linear – Listas de IAL, Lista 1, 30c
Resolva o sistema invertendo a matriz dos coeficientes:
(c)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pede pra gente encontrar a inversa da matriz dos coeficientes. Mas antes de escrever essa matriz, precisamos nos lembrar que existe um teorema que nos ajuda a resolver esse problema. Ele nos diz que, “se for uma matriz invertível , então para cada matriz de tamanho , o sistema de equações tem exatamente uma solução, a saber ”.
Então, o que temos que fazer é aplicar esse teorema no nosso sistema.
Vamos começar escrevendo a matriz dos coeficientes:
Repare que o nosso sistema tem a forma e queremos chegar na forma para encontrar a inversa e o valor das nossas variáveis.
Passo 2
Então, eu posso multiplicar dos dois lados sem alterar nossa equação matricial:
Agora, lembra que uma matriz vezes sua inversa é igual a matriz identidade? Ou seja, por definição:
Como a matriz identidade é o elemento neutro da equação matricial (é como se eu tivesse multiplicando por algum número real), então temos:
E aí chegamos no formato que nós queríamos, . Só falta definir quem é .
Passo 3
Agora, lembra do algoritmo da inversão? É aquele em que nós juntamos a matriz identidade à direita de , na forma , para realizar operações com linhas e produzir , na forma ; onde é a matriz identidade.
Vamos escrever a matriz na forma:
Vamos subtrair a linha da linha e subtrair a linha da linha :
Agora vamos fazer algumas trocas de linha. Vamos trocar a linha com a linha , a linha com a linha e trocar a linha com a linha :
Agora vamos multiplicar a linha e a linha por :
Subtraindo a linha da linha , temos:
Só falta zerar mais um, então vamos subtrair a linha da linha :
Chegamos no formato , então nossa inversa é:
Passo 4
Agora que encontramos nossa inversa, podemos finalmente resolver a equação matricial que vimos lá no passo :
Substituindo a inversa:
Realizando a multiplicação das matrizes, temos:
Então, resolvemos nosso sistema, com , e .
Valeu, galera. Até a próxima! 😉
Resposta