Considere a matriz

Tal matriz é inversível? Em caso afirmativo, determine A - 1 .

Passo 1

Lembra que a matriz A vai ser inversível se o determinante dela não for zero.

Então vamos começar calculando o determinante de A.

Pra fazer isso, vamos escalonar a matriz A lembrando que:

  • Substituir uma linha pela soma dela com o múltiplo de outra linha não altera o determinante
  • Trocar as linhas muda o sinal do determinante
  • Multiplicar uma linha por escalar faz com que o determinante também fique multiplicado por esse escalar

Escalonando:

L 4 ← L 4 + L 1

L 3 ← L 3 + L 1

L 2 ← L 2 - L 1

L 2 ↔ L 3

L 4 ↔ L 3

Note que B é uma matriz triangular superior, e o determinante de uma matriz desse tipo é o produto dos elementos da diagonal principal:

det ⁡ B = 1 × 2 × 2 × - 2 = - 8

Como no escalonamento só fizemos operações que não alteram o determinante e duas operações de troca de linha (cada uma mudando o sinal do determinante uma vez), temos:

det ⁡ A = det ⁡ B = - 8 ≠ 0

Logo, a matriz A é inversível!

Passo 2

Agora para calcular a inversa, escalonamos a matriz A completamente, junto com a matriz identidade do lado:

L 4 ← L 4 + L 1

L 3 ← L 3 + L 1

L 2 ← L 2 - L 1

L 2 ↔ L 3

L 3 ↔ L 4

L 2 ← L 2 + L 4

L 2 ← 1 2 L 2

L 3 ← 1 2 L 3

L 4 ← - 1 2 L 4

L 1 ← L 1 - L 4

L 1 ← L 1 - L 3

L 1 ← L 1 - L 2

Portanto:

Resposta

É inversível:

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =1 - 1 - 4 1 .Mostraremos no Exemplo 6.6 na página 398 que P = 1 1 - 2 2 e D = 3 0 0 - 1 São tais que A = P D P - 1 .Determine A k , para k =1, 2, 3...
23. Sejam Ax=b um sistema de equações lineares consistente arbitrário e x1 uma solução fixada. Mostre que qualquer solução do sistema pode ser escrita na forma x=x1+x0, em que x0 é a solução de Ax=0.
Simplifique(A C^(- 1))^(- 1) (A C^(- 1)) (A C^(- 1))^(- 1) A D^(- 1)
Use o Teorema 1.4 . 5 para calcular a inversa da matriz A = ([[3,1],[5,2]])
Use o Teorema 1.4 . 5 para calcular a inversa da matriz D = ([[2,0],[0,3]])