Considere a matriz
Tal matriz é inversível? Em caso afirmativo, determine .
Passo 1
Lembra que a matriz A vai ser inversível se o determinante dela não for zero.
Então vamos começar calculando o determinante de A.
Pra fazer isso, vamos escalonar a matriz A lembrando que:
- Substituir uma linha pela soma dela com o múltiplo de outra linha não altera o determinante
- Trocar as linhas muda o sinal do determinante
- Multiplicar uma linha por escalar faz com que o determinante também fique multiplicado por esse escalar
Escalonando:
Note que B é uma matriz triangular superior, e o determinante de uma matriz desse tipo é o produto dos elementos da diagonal principal:
Como no escalonamento só fizemos operações que não alteram o determinante e duas operações de troca de linha (cada uma mudando o sinal do determinante uma vez), temos:
Logo, a matriz A é inversível!
Passo 2
Agora para calcular a inversa, escalonamos a matriz A completamente, junto com a matriz identidade do lado:
Portanto:
Resposta
É inversível: