UnB; Introdução à Álgebra Linear; 1ª Lista de Exercícios – Turma E; Exercício 28b
28) Encontre a inversa das matrizes:
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês?
Bora lá resolver mais uma questão!!
O enunciado nos deu uma matriz e pediu pra gente encontrar a inversa dessa matriz. Mas como é que a gente faz isso? O que é uma matriz inversa?
Uma matriz inversa é uma matriz quadrada, ou seja, que possui o mesmo número de linhas e colunas. Tá, mas o que eu devo fazer pra encontrar a matriz inversa?
Antes de tudo, devemos lembrar que a matriz inversa ocorre quando o produto de duas matrizes resulta numa matriz identidade de mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas).
Então, para encontrarmos a inversa, vamos descobrir uma matriz tal que a multiplicação entre elas tenha resultado uma matriz identidade.
Além disso, vamos dizer que a matriz é a inversa de e é representada por !
E vale lembrar de mais uma coisinha também: só teremos uma matriz inversa quando o determinante for diferente de zero, ok?
Falando assim parece meio estranho, né? Mas bora lá resolver isso que você vai ver como é tranquilinho!
Passo 2
Vamos montar aquilo que falamos ali em cima agora!
Mas antes, vamos ver se o determinante da matriz é diferente de zero, para que possamos ter uma matriz inversa!
Uhul! Temos um determinante diferente de , então temos uma inversa a ser encontrada aqui!
Agora, vamos lembrar que a matriz identidade é definida quando os elementos da diagonal principal são todos iguais a e o restante dos elementos é !
Então, para encontrarmos a inversa de acordo com aquilo que foi descrito ali no passo 1, vamos ter que:
Pronto, agora basta multiplicarmos as duas matrizes seguindo o resultado (que é a matriz identidade), para encontrarmos os valores de e , e, portanto, a matriz inversa!
Passo 3
Fazendo a multiplicação entre as matrizes, vamos ter o seguinte:
Resolvendo a igualdade acima, temos que:
Substituindo em :
Substituindo em :
Substituindo em :
Substituindo em :
Agora que encontramos todos os valores para e , vamos ter que a matriz inversa se dá por:
Uhul! Conseguimos galera!
Bora resolver o próximo exercício?