Seja t ∈ R e considere a matriz M dada por

M = 1 0 1 0 t 1 1 1 1

A soma dos elementos na diagonal principal da matriz M - 1 é igual a

a) - 4 t + 1

b) t + 1

c) 1

d) - 2 t + 1

e) - 3 t + 1

Passo 1

E aíí pessoal, tudo belezinha?

Se liga só, temos essa matriz:

M = 1 0 1 0 t 1 1 1 1

E queremos encontrar a inversa dela, a matriz M - 1 . Com isso, vamos somar os elementos da diagonal principal. Suavezinho né?

Lembrando que para inverter uma matriz, vamos colocar ela do lado de uma matriz identidade. Então vamos fazendo operações nas duas matrizes até que a matriz M se transforme na matriz identidade e a que era a identidade seja M - 1

Então vamos!

Passo 2

Queremos inverter essa matriz:

M = 1 0 1 0 t 1 1 1 1

Colocando ela do lado de uma matriz identidade:

1 0 1 0 t 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Vamos lá fazer as operações para que a matriz da esquerda vire a matriz identidade:

1 0 1 0 t 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → L 3 ⇔ L 2 1 0 1 1 1 1 0 t 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0

1 0 1 1 1 1 0 t 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 → L 2 → L 2 - L 1 1 0 1 0 1 0 0 t 1 1 0 0 - 1 0 1 0 1 0

1 0 1 0 1 0 0 t 1 1 0 0 - 1 0 1 0 1 0 → L 1 → L 1 - L 3 1 - t 0 0 1 0 0 t 1 1 - 1 0 - 1 0 1 0 1 0

E pra fechar, precisamos sumir com os t ' s na matriz identidade:

1 - t 0 0 1 0 0 t 1 1 - 1 0 - 1 0 1 0 1 0 → L 1 → L 1 + t . L 2 L 3 → L 3 - t . L 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 - t - 1 0 - 1 0 1 t 1 - t

Showww, então essa é a nossa matriz inversa:

M - 1 = 1 - t - 1 0 - 1 0 1 t 1 - t

Passo 3

Agora que temos a matriz inversa, é só somarmos os elementos da diagonal principal:

M - 1 = 1 - t - 1 0 - 1 0 1 t 1 - t

D = 1 - t + 0 + - t

D = 1 - 2 t

Então a alternativa correta é d )   - 2 t + 1

Resposta

d )   - 2 t + 1

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