33) Seja A x = 0 um sistema homogêneo de n equações lineares e n incógnitas cuja única equação é a trivial. Mostre que se k é um qualquer inteiro positivo, então o sistema A k x = 0 também só tem a solução trivial.

Passo 1

Alooo, é aqui que temos alunos aplicadíssimos e animados com essa questão??

Ebaa, é sim!! Vamos então…

Esse é um exercício extremamente conceitual, onde estudamos alguns teoremas relacionados aos sistemas homogêneos.

Há um teorema principal de Afirmações Equivalentes (que no livro de Álgebra Linear do Anton – 10ª edição é chamado de Teorema 1.6.4) que diz que:

Se A for uma matriz n   X   n , então as seguintes afirmações são equivalentes:

(a) A é invertível

(b) A x = 0 tem somente a solução trivial

(c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é I n

(d) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares

(e) A x = b é consistente com cada matriz b de tamanho n   X   1

(f) A x = b tem exatamente uma solução com cada matriz b de tamanho n   X   1

Passo 2

Então, a partir do Teorema 1.6.4, sabemos que A x = 0 possui somente a solução trivial.

Portanto, também de acordo com o teorema, podemos dizer que A é invertível.

E nesse exato momento, outro teorema desse mesmo livro aparece. É o Teorema 1.4.7.

E ele diz que:

Se A for uma matriz invertível e n um inteiro não negativo, então

(a) A - 1 é invertível e A - 1 - 1 = A

(b) A n é invertível e A n - 1 = A - n = A - 1 n  

(c) k A é invertível com qualquer escalar não nulo k e k A - 1 = k - 1 A - 1

Passo 3

Esse novo teorema é importante por nos dizer que:

Se A é invertível, podemos dizer que A k também é invertível.

E como A k é invertível, podemos concluir (novamente utilizando o teorema 1.6.4 que:

A k x = 0 tem somente a solução trivial.

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

Resposta no desenvolvimento acima.

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