UnB; Introdução a Álgebra Linear; 1ª Lista de Exercícios – Turma E; Exercício 33
33) Seja um sistema homogêneo de equações lineares e incógnitas cuja única equação é a trivial. Mostre que se é um qualquer inteiro positivo, então o sistema também só tem a solução trivial.
Passo 1
Alooo, é aqui que temos alunos aplicadíssimos e animados com essa questão??
Ebaa, é sim!! Vamos então…
Esse é um exercício extremamente conceitual, onde estudamos alguns teoremas relacionados aos sistemas homogêneos.
Há um teorema principal de Afirmações Equivalentes (que no livro de Álgebra Linear do Anton – 10ª edição é chamado de Teorema 1.6.4) que diz que:
Se for uma matriz , então as seguintes afirmações são equivalentes:
(a) é invertível
(b) tem somente a solução trivial
(c) A forma escalonada reduzida por linhas de é
(d) pode ser expressa como um produto de matrizes elementares
(e) é consistente com cada matriz de tamanho
(f) tem exatamente uma solução com cada matriz de tamanho
Passo 2
Então, a partir do Teorema 1.6.4, sabemos que possui somente a solução trivial.
Portanto, também de acordo com o teorema, podemos dizer que é invertível.
E nesse exato momento, outro teorema desse mesmo livro aparece. É o Teorema 1.4.7.
E ele diz que:
Se for uma matriz invertível e um inteiro não negativo, então
(a) é invertível e
(b) é invertível e
(c) é invertível com qualquer escalar não nulo e
Passo 3
Esse novo teorema é importante por nos dizer que:
Se é invertível, podemos dizer que também é invertível.
E como é invertível, podemos concluir (novamente utilizando o teorema 1.6.4 que:
tem somente a solução trivial.
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?
Resposta
Resposta no desenvolvimento acima.