UnB – Introdução à Álgebra Linear – Listas de IAL, Lista 1, 28h
Encontre a inversa das matrizes:
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma matriz e pediu pra gente encontrar a inversa dessa matriz. Mas como é que a gente faz isso?
Bom, a primeira coisa é supor que essa matriz seja invertível. E aí, nós temos uma coisa chamada “algoritmo da inversão”.
Nada mais é que encontrar uma sequência de operações elementares com linhas que reduza a matriz à matriz identidade Porque assim, consequentemente, nós vamos reduzir a matriz identidade à inversa de , no caso .
Calma, que vai ficar mais claro à medida que nós formos fazendo.
Passo 2
Galera, nós queremos reduzir à matriz identidade por operações com linhas e, simultaneamente, aplicar essas operações a para produzir . Para conseguir isso, juntamos a matriz identidade à direita de , com o que produzimos uma matriz da forma:
Em seguida, efetuamos operações com as linhas dessa matriz até que o lado esquerdo esteja reduzido a e o direito a , de modo que a matriz final terá a forma:
Então, temos
Passo 3
Vamos começar zerando os elementos abaixo do pivô da linha . Para isso, vamos multiplicar a linha por e somar com a segunda, terceira e quarta linhas:
Agora multiplicamos a segunda linha por e somamos com a terceira e quarta linhas:
Agora vamos multiplicar a terceira linha por e somar com a quarta linha:
Agora, olha para o lado esquerdo da matriz. Percebe que só falta essa diagonal principal ser igual a para termos a matriz identidade? Então, vamos fazer isso.
Passo 4
Vamos multiplicar a linha por :
Multiplicando a terceira linha por :
Por fim, vamos multiplicar a linha 4 por :
Então, encontramos nossa inversa:
Ou seja,
E encerramos o exercício. Até a próxima, galera! 😉