UnB – Introdução à Álgebra Linear – Listas de IAL, Lista 1, 28f
Encontre a inversa das matrizes:
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma matriz e pediu pra gente encontrar a inversa dessa matriz. Mas como é que a gente faz isso?
Bom, a primeira coisa é supor que essa matriz seja invertível. E aí, nós temos uma coisa chamada “algoritmo da inversão”.
Nada mais é que encontrar uma sequência de operações elementares com linhas que reduza a matriz à matriz identidade Porque assim, consequentemente, nós vamos reduzir a matriz identidade à inversa de , no caso .
Calma, que vai ficar mais claro à medida que nós formos fazendo.
Passo 2
Galera, nós queremos reduzir à matriz identidade por operações com linhas e, simultaneamente, aplicar essas operações a para produzir . Para conseguir isso, juntamos a matriz identidade à direita de , com o que produzimos uma matriz da forma:
Em seguida, efetuamos operações com as linhas dessa matriz até que o lado esquerdo esteja reduzido a e o direito a , de modo que a matriz final terá a forma:
Então, temos
Subtraindo a linha da linha , temos:
Agora vamos subtrair a linha da linha :
Já estamos perto de encontrar a matriz identidade do lado esquerdo, só falta modificar a coluna .
Passo 3
Vamos agora multiplica a linha por :
Agora, vamos zerar os elementos acima do pivô da linha . Para isso, vamos subtrair a linha da linha :
E então subtrair a linha da linha :
E encontramos nossa inversa, porque encontramos a identidade do lado esquerdo, então temos:
E separando a inversa:
E encerramos o exercício. Até a próxima, galera! 😉