UnB; Introdução a Álgebra Linear; 1ª Lista de Exercícios – Turma E; Exercício 21
21) A soma de matrizes invertíveis é invertível?
Passo 1
Oiee galerinha, como vocês estão? Tudo belezinha por aí?
Quero todo mundo felizinho assim no fim dessa questão, show? Então vamos!!
Esse é um exercício completamente conceitual onde precisamos checar a afirmação que a soma de quaisquer matrizes invertíveis será invertível também.
Como temos uma afirmação, a melhor maneira de verificá-la é testando algum caso que falhe.
Passo 2
Vamos começar esse passo com uma pergunta. Qual a condição para o resultado da soma não ser invertível?
A única resposta é que a determinante dessa nova matriz (resultado da soma) deve ser zero. Se a determinante é zero, não podemos inverter a matriz.
Perfeito! E há alguma condição para que o determinante ser zero?
Na verdade, tem sim! Se a matriz possuir uma coluna com todos os valores iguais a zero, por exemplo, seu determinante será zero!
Então vamos criar duas matrizes que, quando somadas, deixem uma coluna igual a zero.
Passo 3
Vamos criar as matrizes e encontrar as suas determinantes:
Portanto essa matriz é inversível.
Essa matriz também é reversível.
Agora podemos somar:
Como uma coluna inteira é zero, essa determinante também é zero.
Portanto a nossa afirmação é falsa.
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?
Resposta
Falso.