UnB – Introdução à Álgebra Linear – Lista 1, 18
Encontre a inversa de
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pede pra gente calcular a inversa da matriz. No caso, essa daqui:
Bom, nós temos uma matriz , e nesse caso tem um teorema muito importante que pode nos ajudar. Ele diz o seguinte:
Uma matriz , da forma
É invertível se, e só se, , caso em que a inversa é dada pela fórmula:
Legal, então no caso da matriz nós temos uma fórmula que determina nossa inversa. Vamos aplica-la!
Passo 2
A primeira coisa é descobrir se a matriz é invertível, ou seja, se ela tem inversa. Para isso, nós calculamos o determinante, que é a mesma coisa que verificar se:
Ou seja, o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária.
No nosso caso, temos:
E o determinante de será:
Vamos multiplicar primeiro o que tá dentro dos colchetes para obter:
Abrindo essas potências, temos:
Juntando tudo e colando em evidência, temos:
Resolvendo dentro dos parênteses:
Quem diria, né? Haha O determinante daquele troço enorme é e como o determinante é diferente de , , podemos dizer que nossa matriz é invertível. Ufa!
Passo 3
Agora vamos calcular sua inversa.
Usando a fórmula do nosso teorema:
Temos, para a matriz
Basta inverter a diagonal principal e manter a diagonal secundária trocando o sinal. Então, teremos sua inversa:
Multiplicando a matriz pela constante , temos:
E encontramos nossa inversa. Até a próxima, galera! 😉