UFRJ, Álgebra Linear, P2 -2017.1, Questão 06
Considere o produto , onde e são matrizes que representam transformações bijetivas:
As linhas de são combinações lineares das linhas de
As linhas de são combinações lineares das linhas de
a) é verdadeira e é falsa
b) é falsa e é verdadeira
c) Ambas são verdadeiras
d) Ambas são falsas
Passo 1
Vamos analisar a afirmativa :
Quero saber se as linhas de são das linhas de em:
Como, de acordo com o enunciado, e são bijetivas, vou multiplicar por pela esquerda:
Pela definição de matriz inversa, , então temos:
Sabemos que as colunas da matriz resultante são combinações lineares das colunas da primeira matriz com os elementos da segunda como coeficientes! Ou seja, as colunas de são combinações das colunas de e não as linhas como fala na afirmativa!!
Dessa forma, essa afirmativa é falsa!
Passo 2
Agora a afirmativa
Quero saber se as linhas de são das linhas de em:
Vou agora multiplicar por dos dois lados pela direita:
Como, de novo, pela definição de matriz inversa, , temos:
Na múltiplicação de matrizes, sabemos que as linhas da matriz resultante são combinações lineares das linhas da segunda matriz com os elementos da primeira como coeficientes. Assim, as linhas de são de fato combinações das linhas de
Assim, essa afirmativa é verdadeira!
Resposta
b