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Exercícios Resolvidos de Velocidade e Aceleração Médias no Movimento Circular

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Enunciado

UFABC – Fenômenos Mecânicos – Lista 6 – Questão 01c

Uma partícula de massa m executa um movimento circular, descrito pelo vetor posição

r → =   R [ c o s θ t i ^ +   s e n θ t j ^ ] ;  

em que θ t = θ 0 + ω 0 t   + α t 2 / 2 , com R ,   θ 0 ,   ω 0 e α constantes positivas.

(c) calcule r → × p → , o produto vetorial entre os vetores posição e momento linear.

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Essa questão é uma continuação, então vamos lá! No item (a) foi pedido para calcular os vetores velocidade e aceleração

O que fizemos lá foi derivar componente a componente, aplicando as regras de derivação (que conhecemos lá do cálculo 1) e só!

O resultado foram esses dois vetores aqui:

v → = - R s e n θ ω 0 + α t i ^ + R c o s θ ω 0 + α t j ^

a → = - R c o s θ ω 0 + α t 2 - R α s e n θ i ^ + - R s e n θ ω 0 + α t 2 - R α c o s θ j ^

Show!

Agora no item (c) o problema nos pediu para calcular o produto vetorial entre os vetores posição e momento linear!

Mas como faremos isso?

Vamos primeiro relembrar da definição de momento linear:

p → = m v →

E o vetor velocidade nós temos! Então o produto vetorial pedido pode ser escrito assim

r → × p → = r → × m v → = m r → × v →

Então na verdade, precisamos calcular o produto vetorial entre r → e v → e depois multiplicar pela massa m !

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos primeiro relembrar como se calcular o produto vetorial entre dois vetores quaisquer a → e b → :

a → × b → = i ^ j ^ k ^ a x a y a z b x b y b z

E daqui em diante é como resolver um determinante de terceira ordem!

a → × b → = a y b z - a z b y i ^ + a z b x - a x b z j ^ + a x b y - a y b x k ^

Beleza?

Passo 3

Nossos vetores são: r → =   R [ c o s θ i ^ +   s e n θ j ^ ] ;    

v → = - R s e n θ ω 0 + α t i ^ + R c o s θ ω 0 + α t j ^

Agora fazendo o produto vetorial entre r → e v → (atenção na ordem dos vetores!)

r → × v → = i ^ j ^ k ^ R c o s θ R s e n θ 0 - R s e n θ ω 0 + α t R c o s θ ω 0 + α t 0  

r → × v → = R s e n θ . 0 - 0 . R c o s θ ω 0 + α t i ^ + 0 . - R s e n θ ω 0 + α t - R c o s θ . 0 j ^ + R c o s θ . R c o s θ ω 0 + α t - R s e n θ . - R s e n θ ω 0 + α t k ^  

A única componente que sobrevive é a k ^ :

r → × v → = R c o s θ . R c o s θ ω 0 + α t - R s e n θ . - R s e n θ ω 0 + α t k ^

r → × v → = R 2 ω 0 + α t cos 2 ⁡ θ + R 2 ω 0 + α t s e n 2 θ k ^ = R 2 ω 0 + α t k ^

Beleza? Tranquilo até aqui?

Passo 4

Agora que temos o produto vetorial, podemos multiplicar pela massa m e encontrar o que foi pedido

Recapitulando: o produto vetorial pedido foi

r → × p →

E vimos que podemos reescrever como

m   ( r → × v → )

O produto vetorial r → × v → nós calculamos no passo anterior e vale

r → × v → = R 2 ω 0 + α t k ^

E agora é só multiplicar pela massa

r → × p → = m   r → × v → = m R 2 ω 0 + α t k ^

Pronto! Esse é o resultado!

Tranquilo? Espero ter ajudado!

Resposta

m R 2 ω 0 + α t k ^

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