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Exercícios Resolvidos de Velocidade e Aceleração Médias no Movimento Circular

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Enunciado

Uma pessoa de massa m está parada na borda de uma plataforma horizontal, de forma circular, com raio R e momento de inércia I que pode girar livremente em torno de um eixo vertical que passa pelo seu centro. Inicialmente, a plataforma está em repouso em relação ao solo. Num dado instante, a pessoa começa a andar ao longo da borda da plataforma, até atingir a velocidade de módulo v em relação ao solo, como mostra a figura. Neste instante, a velocidade angular da plataforma vale:

  1. Zero.
  2. ω → = - m R 2 / I ( v / R )   k →  
  3. ω → = + m R 2 / I ( v / R )   k →
  4. ω → = - ( v / R )   k →
  5. ω → = + ( v / R )   k →

Passo 1

“AH! Tranquilo essa! afinal v = ω R então ω → = v / R   k → ”

Diga-me aí: por que esse raciocínio de cima está errado para este problema?

Ora! Se estivéssemos falando apenas do disco girando com velocidade v → , de fato poderíamos utilizar v = ω R . Mas não é bem isso que está acontecendo.

O que está acontecendo é uma pessoa que tem massa m em cima do disco e que está andando a uma velocidade v → . Só o fato de ter um ponto com massa m ali em cima já muda o momento de inércia total do disco e, portanto, muda também a velocidade angular desse disco.

“Ta, então como que a gente encontra isso?”

Bem, a dica está dada ali em cima: se o momento de inércia total do sistema muda. Vamos calcular ω através da sua relação com o momento de inércia, ou seja, pela fórmula L → = I s i s ω → , onde L → é o momento angular e I s i s é o momento de inércia do sistema Pessoa + disco.

Passo 2

Cara! Então... Temos aqui um sistema formado por duas coisas girando: uma partícula (a pessoa) e o disco. Então, o momento angular total vai ser o momento dessas duas coisas:

L → t o t = L → p a r t + L → d i s c

Só que o sistema (disco+pessoa) não tem nenhuma ação de força externa atuando. Logo, podemos concluir que o momento angular total tem que ser igual a 0 :

L → p a r t + L → d i s c = 0

O momento angular da partícula é igual a I p a r t ω p a r t e o do disco vai ser I ω ...

I p a r t ω p a r t → + I ω → = 0

Agora sim! Olha que interessante! A velocidade angular da partícula ω p a r t → pode ser visto como v / R , afinal v é a velocidade do carinha e R é o raio que a partícula está girando. O momento de inércia de partícula é m R 2 ...

m R 2 v R - k → + I ω → = 0

O - k → serve para dar a direção e o sentido da velocidade angular ω p a r t → . Pela regra da mão direita em cima do carinha andando teremos que o sentido da velocidade angular dele de fato vai ser para baixo (na direção z ) daí o - k → .

Então, a velocidade angular do disco e agora levando em consideração o ser humano no disco...

ω → = m R 2 I v R k →

Resposta

Letra C.

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