3) Considere o seguinte campo vetorial F : R 3 → R 3 dado por:

F x , y , z = e y ,   x e y , z + 1 e z .

Responda as questões abaixo:

b) Calcule a integral ∫ γ F ⋅ d γ , onde

γ t = t ,   t 100 , t 1000     0 ≤ t ≤ 1 .

Passo 1

Falaaa... Tudo bem??

Nessa letra b, da questão vamos precisar da função potencial que achamos na letra a:

f x , y , z = x e y + z e z + K

E também já vamos considerar o campo conservativo, ok?

Como o campo é conservativo, não precisamos nos preocupar com o caminho. Somente com os pontos inicial e final.

E aí conseguimos calcular a integral:

  ∫ γ F ⋅ d γ = f B - f A

Passo 2

Pooo... mas e aquele negócio feio ali cheioo de expoente??

Então... a gente vai usar pra achar o ponto inicial e o ponto final.

Como varia de t = 0 até t = 1 só precisamos substituir na equação de γ :

- pra t = 0 :

γ 0 = 0,0 100 , 0 1000

= 0,0 , 0

- pra t = 1 :

γ t = 1,1 100 , 1 1000

= 1,1 , 1

Passo 3

Agora, com o ponto inicial e final, conseguimos calcular:

  ∫ γ F ⋅ d γ = f 1,1 , 1 - f 0,0 , 0

= 1 e 1 + 1 e 1 + K - 0 e 0 + 0 e 0 + K

= 2 e

E acabamos a questão. Partiu pra próxima?

Resposta

2 e

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