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Exercícios Resolvidos de Coordenadas Polares

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Enunciado

  1. Apresente uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas planas:
  1. C : 16 x 2 + 9 y 2 + 64 x - 18 y - 71 = 0

Passo 1

Primeiramente aqui, preciso que você tenha já em mente que essa curva nos representa uma elipse, certo? Então vamos leva-la para a sua forma geral de elipse: x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ?

Completando quadrado...

16 x 2 + 9 y 2 + 64 x - 18 y - 71 = 0       →         4 x + 8 2 - 64 + 3 y - 3 2 - 9 - 71 = 0   →

colocando os termos dos parênteses em evidência...

4 x + 2 2 + 3 y - 1 2 = 144   →

16 x + 2 2 + 9 y - 1 2 = 144         →

16 x + 2 2 144 + 9 y - 1 2 144 = 1         →

x + 2 2 9 + y - 1 2 16 = 1 →

x + 2 2 3 2 + y - 1 2 4 2 = 1

Passo 2

A parametrização de elipses centrada na origem sempre será:

x = a cos ⁡ θ

y = b sin ⁡ θ

como a nossa curva está fora da origem e sim centrada no ponto - 2 ,   1 , a parametrização fica

x = - 2 + a cos ⁡ θ

y = 1 + b sin ⁡ θ

a = 3 e b = 4 . Assim, uma parametrização é:

x = - 2 + 3 cos ⁡ θ

y = 1 + 4 sin ⁡ θ

r → t = - 2 + 3 cos ⁡ θ ,   1 + 4 sin ⁡ θ

θ dá uma volta completa...

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Agora basta verificar se ela é diferenciável calculando sua derivada:

r → t = - 2 + 3 cos ⁡ θ ,   1 + 4 sin ⁡ θ →             r ' t = - 3 sin ⁡ θ ,   4 cos ⁡ θ

Repare que essa derivada aí funciona para qualquer ponto. Então, sim, ela é diferenciável !

Resposta

i )   r → t = - 2 + 3 cos ⁡ θ ,   1 + 4 sin ⁡ θ ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

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