UFSC, Araranguá, Cálculo B, Listas de Cálculo B - Lista 102, Questão 2ab
Em cada caso, encontre a coordenada polar que satisfaz a condição para o ponto cuja coordenada retangular é
a) e
b) e
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu um ponto, , em coordenadas cartesianas e pediu pra gente determinar suas correspondentes coordenadas polares, na forma , satisfazendo cada condição.
Na letra a, nós vamos encontrar as coordenadas polares que satisfazem as condições e . Na letra b, nós vamos encontrar as coordenadas polares que satisfazem as condições e .
Para fazer essa mudança de coordenadas, nós vamos usar as relações:
Pra escrever o ponto na forma , nós vamos calcular primeiro o fazendo e, se , vamos usar:
A partir do valor que encontrarmos, determinamos o ângulo , que é nossa segunda coordenada polar.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando , para o ponto :
Agora usamos esse resultado para verificar quem é , fazendo:
Vamos ver o seno:
Qual é o ângulo que nos fornece e ? Da condição , temos o ângulo:
Logo, nosso ponto em coordenadas polares é:
Passo 3
Agora para a condição e na letra b, usando o mesmo ponto em coordenadas cartesianas: , temos:
Agora usamos esse resultado para verificar quem é , fazendo:
Da condição , teríamos novamente o ângulo . Mas repare que como , teremos um ponto , que é simétrico ao ponto e é equivalente a . Portanto, vamos ter:
Logo, temos:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
a)
b)