Use as coordenadas polares ( r ,   θ ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ e r 2 = x 2 + y 2 , e a regra de L’Hospital para encontrar os limites abaixo. Observe que quando x ,   y → ( 0 ,   0 ) o r → 0 .

d) lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ sin ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função sin ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 , quando ( x ,   y ) tende ao ponto ( 0 ,   0 ) , usando as coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ r 2 = x 2 + y 2

E usando também a regra de L’Hospital. Então, vamos substituir as expressões para x e y na função e depois (se necessário) usar L’Hospital (derivando numerador e denominador separadamente) para simplificar a função e aplicar o valor do limite.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos dar uma olhadinha no nosso limite:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ sin ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2

Substituindo r 2 = x 2 + y 2 na função, temos:

lim r → 0 ⁡ sin ⁡ r 2 r 2

Repare que esse é o limite fundamental lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u que tem valor 1 . Portanto, temos:

lim r → 0 ⁡ sin ⁡ r 2 r 2 = 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1

Exercícios de Livros Relacionados