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Exercícios Resolvidos de Coordenadas Polares

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Exercícios de Cálculo 3 - Profº Cilon Perusato - Lista 3, Questão 5c

Ache uma representação de parametrização das superfícies:

c) A parte do cilindro y 2 + z 2 = 16 que entre os planos x = 0 e x = 5 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para representar a parametrização do cilindro y 2 + z 2 = 16 que entre os planos x = 0 e x = 5 .

Para isso, podemos utilizar as coordenadas cilíndricas para determinarmos a equação parametrizada do cilindro!

Depois disso, basta aplicarmos a região entre os planos x = 0 e x = 5 na equação!!

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Primeiramente vamos aplicar as coordenadas esféricas fazendo a seguinte substituição:

x   =   x

y   =   r sin ⁡ θ

z   =     r cos ⁡ θ

Dessa forma, substituindo esses valores na equação do cilindro, encontramos:

r sin ⁡ θ 2 + r cos ⁡ θ   2 = 16 ∴

r 2 sin 2 ⁡ θ + r 2 cos 2 ⁡ θ = 16 ∴

r 2 sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 16 ∴

r 2 = 16 ∴

r = 4

Passo 3

Agora podemos escrever a parametrização da seguinte forma:

r ( θ ,   x )   =   x , 4 sin ⁡ θ , 4 cos ⁡ θ

Nesse sentido, precisamos restringir o intervalo de x para que a parametrização corresponda à parte do cilindro entre os planos x = 0 e x = 1 .

Dessa forma, a parametrização final será:

r ( θ ,   x )   =   x , 4 sin ⁡ θ , 4 cos ⁡ θ

Onde:

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ x ≤ 5

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

r ( θ ,   x )   =   x , 4 sin ⁡ θ , 4 cos ⁡ θ

Onde:

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ��� x ≤ 5

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