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Exercícios Resolvidos de Coordenadas Polares

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Enunciado

UFSC, Araranguá, Cálculo B, Listas de Cálculo B - Lista 102, Questão 1ab

Determine as coordenadas polares dos pontos a seguir dados em coordenadas cartesianas

a) ( 1 ,   1 )

b) ( - 1 ,   1 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu alguns pontos em coordenadas cartesianas ( x ,   y ) e pediu pra gente determinar suas correspondentes coordenadas polares, na forma ( r ,   θ ) , beleza?

Para fazer essa mudança de coordenadas, nós vamos usar as relações:

x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ x 2 + y 2 = r 2

Pra escrever o ponto na forma ( r ,   θ ) , nós vamos calcular primeiro o r fazendo r = x 2 + y 2 e, se r ≠ 0 , vamos usar:

cos ⁡ θ = x r

sin ⁡ θ = y r

A partir do valor que encontramos, determinamos o ângulo θ , que é nossa segunda coordenada polar.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando r , para o ponto x ,   y = ( 1 ,   1 ) :

r = x 2 + y 2 = 1 2 + 1 2

r = 2

Agora usamos esse resultado para verificar quem é θ , fazendo:

cos ⁡ θ = x r = 1 2

cos ⁡ θ = 1 2 = 2 2

Vamos ver o seno:

sin ⁡ θ = y r

sin ⁡ θ = 1 2 = 2 2

Qual é o ângulo que nos fornece cos ⁡ θ = sin ⁡ θ = 2 2 ? Isso mesmo, o ângulo de 45 ° , que também pode ser escrito como:

θ = π 4

Logo, nosso ponto em coordenadas polares é:

2 ,   π 4

Passo 3

Agora para o ponto x ,   y = ( - 1 ,   1 ) , temos:

r = x 2 + y 2 = - 1 2 + 1 2

r = 2

Agora usamos esse resultado para verificar quem é θ , fazendo:

cos ⁡ θ = x r = - 1 2

cos ⁡ θ = - 1 2 = - 2 2

Vamos ver o seno:

sin ⁡ θ = y r

sin ⁡ θ = 1 2 = 2 2

Qual é o ângulo que nos fornece cos ⁡ θ = - 2 2 e sin ⁡ θ = 2 2 ? O ângulo:

θ = 3 π 4

Logo, nosso ponto em coordenadas polares é:

2 ,   3 π 4

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) 2 ,   π 4

b) 2 ,   3 π 4

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