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Exercícios Resolvidos de Coordenadas Polares

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Rafael Rossato - Integrais com coordenadas polares, Questão 6a

Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares.

  1. ρ = θ ,   0 ≤ θ ≤ π

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcularmos o comprimento da curva dada em coordenadas polares:

ρ = θ ,   0 ≤ θ ≤ π

Para isso, devemos saber que a fórmula para o comprimento de uma curva C em coordenadas polares é:

C = ∫ a b ρ 2 + d ρ d θ 2 d θ

E aí? Bora lá aplicar?

😉

Passo 2

Dessa forma, com base nos dados do enunciado, temos:

ρ 2 = θ 2

E

d ρ d θ = 1

Logo, substituindo na integral e aplicando o intervalo 0 ≤ θ ≤ π que foi dado, temos:

∫ 0 π θ 2 + 1 2 d θ

Temos uma integral trigonométrica:

Vamos fazer ∫ 0 π θ 2 + 1 2 d θ = ∫ 0 π x 2 + 1 2 d x .

Passo 3

Perceba que estamos no Caso II, portanto:

∫ 0 π tan ⁡ θ 2 + 1 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Sabemos também que:

tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

Portanto:

∫ 0 π sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ ∴

∫ 0 π sec 3 ⁡ θ d θ

Resolvendo a integral, temos:

= 1 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ π 0 ∴

= π π 2 + 1 + ln ⁡ π π 2 + 1 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

π π 2 + 1 + ln ⁡ π π 2 + 1 2

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