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Exercícios Resolvidos de Coordenadas Polares

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Exercícios de Cálculo 3 - Profº Cilon Perusato - Lista 3, Questão 5b

Ache uma representação de parametrização das superfícies:

b)

A parte do paraboloide x + y 2 + 2 z 2 = 4 que fica na frente do plano x = 0 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para representar a parametrização do paraboloide x + y 2 + 2 z 2 = 4 que fica na frente do plano x = 0 .

Para isso, podemos utilizar as coordenadas esféricas para determinarmos a equação parametrizada do paraboloide.

Depois disso, basta aplicarmos o plano x = 0 na equação!!

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Primeiramente vamos aplicar as coordenadas esféricas fazendo a seguinte substituição:

x   =   r cos ⁡ θ

y   =   r sin ⁡ θ

z   =   z

Dessa forma, substituindo esses valores na equação do paraboloide, encontramos:

r cos ⁡ θ + r sin ⁡ θ 2 + 2 z 2 = 4 ∴

z 2 = 4 - r cos ⁡ θ - r 2 sin 2 ⁡ θ 2 ∴

z = 4 - r cos ⁡ θ - r 2 sin 2 ⁡ θ 2    

Passo 3

Agora podemos escrever a parametrização da seguinte forma:

r ( θ ,   φ )   =   r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ ,   4 - r cos ⁡ θ - r 2 sin 2 ⁡ θ 2

Nesse sentido, precisamos restringir o intervalo de θ para que a parametrização corresponda à parte do paraboloide na frente do plano x = 0 .

Como queremos a parte do paraboloide na frente do plano x = 0 , podemos escolher θ no intervalo [ 0 ,   π ] .

Dessa forma, a parametrização final será:

r θ ,   φ =   r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ ,   4 - r cos ⁡ θ - r 2 sin 2 ⁡ θ 2

Onde:

0 ≤ θ ≤ π

r ≥ 0

Observe que φ não aparece na parametrização, pois não há restrições específicas para essa coordenada. Ela pode variar livremente.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

r θ ,   φ =   r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ ,   4 - r cos ⁡ θ - r 2 sin 2 ⁡ θ 2

Onde:

0 ≤ θ ≤ π

r ≥ 0

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