Transforme a equação cartesiana em sua correspondente equação polar:

c) (x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 16

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma equação na forma cartesiana e pediu pra gente escrevê-la em sua forma polar.

Para fazer essa mudança de coordenadas, nós vamos usar as relações:

x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ x 2 + y 2 = r 2

Vamos manipular as equações de maneira que a gente consiga substituir algumas das relações e coloca-la em sua forma polar, em função de r e θ . Então, vamos lá!

Passo 2

Na letra c, temos:

x + 2 2 + y - 5 2 = 16

Vamos começar abrindo os dois produtos notáveis nos parênteses:

x 2 + 4 x + 4 + y 2 - 10 y + 25 = 16

x 2 + 4 x + y 2 - 10 y = - 13

Nós vimos lá no passo 1 que x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ , então vamos substituir na equação:

r cos ⁡ θ 2 + 4 ( r cos ⁡ θ ) + r sin ⁡ θ 2 - 10 r sin ⁡ θ = - 13

r 2 cos 2 ⁡ θ + 4 r cos ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ - 10 r sin ⁡ θ = - 13

Vamos agrupar os termos colocando r 2 e r emevidência:

r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ + r 4 cos ⁡ θ - 10 sin ⁡ θ = - 13

Usando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , temos:

r 2 + r 4 cos ⁡ θ - 10 sin ⁡ θ = - 13

r 2 = r 10 sin ⁡ θ - 4 cos ⁡ θ - 13

E temos nossa equação em coordenadas polares.

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

r 2 = r 10 sin ⁡ θ - 4 cos ⁡ θ - 13

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