Cálculo Aplicado – 1ª Atividade Avaliativa – 2021.1 – Prof. Thiago de Souza Pinto
Considerando a superfície dada pela porção do cone limitada pelos planos e .a) Parametrize usando coordenadas polares.
Passo 1
Fala aí! Esse problema tá dando uma superfície que é a equação de um cone, mas o problema limita esse cone para e . Olha ele quer que a gente reescreva essa superfície usando as coordenadas polares que são essas aqui:
A gente só precisa entender melhor o que esses limites que o problema nos deu fazem com essas coordenadas e com o que a gente ainda não sabe.
Passo 2
Para temos que a equação do cone fica
Elevando ambos os lados ao quadrado temos
Que é a equação de um círculo de raio Agora a gente pode fazer a mesma coisa para e teremos
Elevando ambos os lados ao quadrado temos
Que é a equação de um círculo de raio Isso nos leva a entender que a superfície que estamos interessados é uma sucessão de vários círculos com raios diferentes que vão desde até
Passo 3
Agora a gente vai ver como que o fica nessas coordenadas aí. Usando as coordenadas polares na equação do cone temos
Então, nas coordenadas polares, temos que a altura da nossa figura cresce junto com o raio dos círculos.
Passo 4
Como vimos que a superfície é limitada por um círculo de raio 1 e um círculo de raio ela fica descrita por
Então a curva parametrizada que descreve essa curva é
Com .