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Exercícios Resolvidos de Coordenadas Polares

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Exercícios - Lista de Exercícios 5, Questão 1.5d

Encontre a equação polar das curvas em coordenadas cartesianas abaixo:

d)

x 2 - y 2 = 1

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para encontrarmos a equação polar da seguinte curva dada em coordenadas cartesianas:

x 2 - y 2 = 1

Para isso, temos que ter em mente as seguintes relações entre os dois tipos de coordenadas:

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Dessa forma, pelas equações mostradas no Passo 1, vemos que:

x = r cos ⁡ θ

E que:

y = r sin ⁡ θ

Assim, substituindo x e y , temos:

x 2 - y 2 = 1 ∴

r 2 cos 2 ⁡ θ - r 2 sin 2 ⁡ θ = 1

Colocando o r em evidência, temos:

r 2 cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ = 1 ∴

r 2 = 1 cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ

Passo 3

Por outro lado, vale lembrar da seguinte identidade trigonométrica:

sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 ∴

sin 2 ⁡ θ = 1 - cos 2 ⁡ θ

Portanto, substituindo em cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ , temos:

cos 2 ⁡ θ - 1 - cos 2 ⁡ θ ∴

cos 2 ⁡ θ - 1 + cos 2 ⁡ θ ∴

2 cos 2 ⁡ θ - 1

Vamos lembrar de outra identidade trigonométrica:

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Assim, substituindo na equação que acabamos de encontrar, temos:

2 1 + cos ⁡ 2 θ 2 - 1 ∴

1 + cos ⁡ 2 θ - 1 ∴

cos ⁡ 2 θ

Logo, podemos concluir que:

cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ = cos ⁡ 2 θ

Passo 4

Substituindo na equação do Passo 2, temos:

r 2 = 1 cos ⁡ 2 θ ∴

Lembrando que sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ , temos:

r 2 = sec ⁡ 2 θ

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

r 2 = sec ⁡ 2 θ

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