Transforme a equação polar em sua correspondente equação cartesiana:

d) cos 2 ⁡ θ = sin 2 ⁡ θ

e) r = 2 cos ⁡ θ - s in ⁡ θ

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu algumas equações na forma polar e pediu pra gente escrevê-las em sua forma cartesiana.

Para fazer essa mudança de coordenadas, nós vamos usar as relações:

x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ x 2 + y 2 = r 2

Vamos manipular as equações de maneira que a gente consiga substituir algumas das relações e coloca-la em sua forma cartesiana, em função de x e y . Então, vamos lá!

Passo 2

Na letra d, temos:

cos 2 ⁡ θ = sin 2 ⁡ θ

Nós vimos lá no passo 1 que x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ , então vamos substituir na equação elevando ao quadrado:

x 2 r 2 = y 2 r 2

Multiplicando os dois lados por r 2 , temos:

x 2 = y 2

Ou

y = ± x 2

y = ± x

E temos nossa equação cartesiana, que representa duas retas perpendiculares.

Passo 3

Na letra e, temos:

r = 2 cos ⁡ θ - sin ⁡ θ

Nós já sabemos que cos ⁡ θ = x r e sin ⁡ θ = y r . Então vamos substituir:

r = 2 x r - y r

Colocando todo mundo no mesmo denominador:

r = 2 x - y r

Agora vamos multiplicar os dois lados por r :

r 2 = 2 x - y

Mas lá do passo 1 , nós sabemos que x 2 + y 2 = r 2 . Logo:

  x 2 + y 2 = 2 x - y

Vamos agrupar todo mundo que tem x pertinho e todo mundo que y pertinho também:

x 2 - 2 x + y 2 - y = 0

Galera, agora nós precisamos completar os quadrados pra gente conseguir identificar que equação é essa. Vamos começar somando 1 dos dois lados:

x 2 - 2 x + 1 + y 2 - y = 0 + 1

Completamos o quadrado em x , então podemos escrever:

x - 1 2 + y 2 - y = 1

Vamos fazer a mesma coisa para y somando 1 4 dos dois lados:

x - 1 2 + y 2 - y + 1 4 = 1 + 1 4

x - 1 2 + y + 1 2 2 = 5 4

Repare que se a gente abrir os termos entre parênteses, vamos ter as equações de segundo grau originais. Repare também que essa equação final já está na forma cartesiana e representa um círculo de raio 5 2 e centro 1 , 1 2 .

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d) y = ± x  

e) x - 1 2 + y + 1 2 2 = 5 4  

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