(Capítulo 13.1 – Exercício 21) Faça uma correspondência entre as equações paramétricas e os gráficos (identificados com números de I–VI). Justifique sua escolha.

x = t * cos(t), y = t, z = t * sen(t), t ≥ 0

Passo 1

Faaaaala galera!

Olha só, nesse exercício temos uma curva paramétrica e a imagem de 6 gráficos, e aí queremos saber qual desses gráficos corresponde à equação da curva que foi dada ok?

Para fazermos isso, vamos ter que analisar o comportamento da equação, vendo qual dos gráficos corresponde a esse comportamento

Boraaa

Passo 2

Temos x = t cos ⁡ t ,     y = t ,     z = t   s e n   t ,     t ≥ 0

Legal, temos que a coordenada y = t , logo o gráfico vai crescer ao longo do eixo y 😉

Para as coordenadas x e z , como temos o seno em uma e o cosseno na outra, podemos pensar em algo envolvendo a relação trigonométrica fundamental:

s e n 2 t + c o s 2 t = 1

Então vamos fazer:

x 2 + z 2 = t 2 cos ² ⁡ t + t 2 s e n 2 t

Colocando t ² em evidência:

x 2 + z 2 = t 2 . s e n 2 t + c o s 2 t

x 2 + z 2 = t 2 . 1 = t ²

x 2 + z 2 = t ²

Opa opa, isso é a equação de uma circunferência com raio t . A coisa é que esse valor de t não é fixo né, ele vai aumentando, pois t ≥ 0

Então, no plano x z teremos uma espiral que começa com o raio zero e aumenta até infinito conforme t tende ao infinito.

Show, então analisando as figuras, verificamos que a única que contempla as análises feitas é a figura 2.

Resposta

Figura 2.

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