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Exercícios Resolvidos de Coordenadas Polares

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Enunciado

UFSC, Araranguá, Cálculo B, Listas de Cálculo B - Lista 102, Questão 2cd

Em cada caso, encontre a coordenada polar que satisfaz a condição para o ponto cuja coordenada retangular é - 3 ,   1

c) r ≥ 1 e - 2 π ≤ θ ≤ 0

d) r ≤ 1 e - π ≤ θ ≤ π

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu um ponto, - 3 ,   1 , em coordenadas cartesianas ( x ,   y ) e pediu pra gente determinar suas correspondentes coordenadas polares, na forma ( r ,   θ ) , satisfazendo cada condição.

Na letra a, nós vamos encontrar as coordenadas polares ( r ,   θ ) que satisfazem as condições r ≥ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2 π . Na letra b, nós vamos encontrar as coordenadas polares ( r ,   θ ) que satisfazem as condições r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Para fazer essa mudança de coordenadas, nós vamos usar as relações:

x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ x 2 + y 2 = r 2

Pra escrever o ponto na forma ( r ,   θ ) , nós vamos calcular primeiro o r fazendo r = x 2 + y 2 e, se r ≠ 0 , vamos usar:

cos ⁡ θ = x r

sin ⁡ θ = y r

A partir do valor que encontrarmos, determinamos o ângulo θ , que é nossa segunda coordenada polar.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando r , para o ponto x ,   y = - 3 ,   1 :

r = x 2 + y 2 = - 3 2 + 1 2

r = 2

Agora usamos esse resultado para verificar quem é θ , fazendo:

cos ⁡ θ = x r = - 3 2

Vamos ver o seno:

sin ⁡ θ = y r

sin ⁡ θ = 1 2

Qual é o ângulo que nos fornece cos ⁡ θ = - 3 2 e sin ⁡ θ = 1 2 ? Da condição - 2 π ≤ θ ≤ 0 , temos o ângulo:

θ = - 7 π 6

Logo, nosso ponto em coordenadas polares é:

2 ,   - 7 π 6

Passo 3

Agora para a condição r ≤ 1 e - π ≤ θ ≤ π na letra d, usando o mesmo ponto em coordenadas cartesianas: x ,   y = - 3 ,   1 , temos:

r = x 2 + y 2 = - 3 2 + 1 2

r = 2

Agora usamos esse resultado para verificar quem é θ , fazendo:

cos ⁡ θ = x r = - 3 2

sin ⁡ θ = y r = 1 2

Teríamos novamente o ângulo θ = - 7 π 6 . Mas repare que como r ≤ 0 , teremos um ponto ( - r ,   θ ) , que é simétrico ao ponto ( r ,   θ ) e é equivalente a ( r ,   θ + π ) . Portanto, vamos ter:

- 2 , - 7 π 6 + π

Logo, temos:

- 2 , - π 6

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

c) 2 ,   - 7 π 6

d) - 2 , - π 6

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