Calcule a integral de linha
onde é um caminho suave unindo os pontos e .
Passo 1
Ele diz para gente para calcular uma integral de linha vetorial sobre a curva . Mas repara que o campo é feinho.
Nesses casos é bom começar calculano o rotacional desse campo, para ver se podemos usar outro caminho para calcular essa integral.
Nosso campo é
A fórmulinha do rotacional é
Aí calculamos:
Ih olha só! Deu zero. Isso quer dizer que nosso campo pode ser conservativo.
Como vemos que as funções que o compõem são contínuas e suas derivadas parciais também, para todos os , a gente pode afirmar mesmo que ele é conservativo!
Isso vai facilitar muito nossa vida. Vem ver!
Passo 2
Vamos começar listando as características de um campo conservativo, se tiver uma delas, é conservativo! São 4:
- O campo tem uma função , tal qual . Ou seja, ele tem função potencial.
- , e e suas derivadas estão bem definidas em um domínio sem “buracos”.
- A integral de linha vetorial sobre qualquer curva fechada é nula:
- As integrais de linha vetoriais nele não dependem do caminho e valem:
Lembrando que esse é a função potencial do campo.
No que isso ajuda a gente? Cara, a gente percebeu que nosso campo é conservativo por causa da característica .
Mas repara na 4: ela diz como calcular uma integral de linha vetorial, só usando os pontos que e (ínicio e final da nossa curva) e a função potencial do campo.
E a gente quer calcular
Que é uma integral de linha. E temos o ponto inicial e final da curva :
Só falta a função potencial para conseguirmos calcular essa integral aí, né? Vamos a achar então!
Passo 3
Cara, como a gente faz isso? Primeiro, a gente lembra que se o campo é conservativo, temos que o campo é igual ao vetor gradiente da função potencial:
Nosso campo é
Daí a gente tira que
Se a gente integrar isso em relação a :
E quem é aquele termo ali? É porque se a gente derivar em relação a e tiver uma função de somando do lado, ela zera né? Então quando a gente faz o caminho inverso, precisamos supor que ela poderia estar ali na nossa função.
Obs: aqui você não precisa se preocupar em colocar a constante da integral indefinida, tá?
Passo 4
Do gradiente tiramos também que
Se a gente integrar isso em relação a :
Repara que apareceu um termo ali, porque agora a gente está fazendo o caminho inverso da derivada em relação a .
Passo 5
Agora é comparar essas expressões de , para achar e , e assim a expressão final da nossa função:
Repara que na primeira, a gente tem aquele termo , mas na segunda, não há nenhum termo em soma só com uma função de . Daí tiramos que
Mas repara que na segunda a gente tem o termo , e na primeira, a gente tem o sozinho em soma com . Isso diz para a gente que
Aí nossa função potencial é:
Passo 6
Agora temos tudo para calcular a integral de linha vetorial:
Substituindo nossos dados:
Como
Temos que