Calcule o trabalho ∫ C F → .   d r → do campo

F → = 2 x y z + s e n x ,   x 2 z ,   x 2 y

ao longo da curva C parametrizada por c t = cos 5 ⁡ t ,   s e n 3 t ,   t 4   com 0 ≤ t ≤ π .

Passo 1

Primeira coisa que a gente vai fazer aqui é calcular esse rotacional, que é feito desse jeito:

r o t F = ( x 2 - x 2 ,   2 x y - 2 x y ,   2 x z - 2 x z )

r o t F = ( 0,0 , 0 )

Opa, que maravilha. Uma vez que nosso rotacional é nulo e o campo não tem singularidade nenhuma, a gente sabe que existe uma função potencial para esse F . Vamos então buscar essa função f .

Passo 2

Para descobrirmos a função potencial f , basta resolvermos então as integrais.

1 )   ∂ f ∂ x = 2 x y z + s e n x → f = ∫ 2 x y z + s e n x   d x

2 )   ∂ f ∂ y = x 2 z → f = ∫ x 2 z   d y

3 )   ∂ f ∂ z = x 2 y → f ∫ x 2 y   d z

Resolvendo então primeiro 1):

f x , y , z = x 2 z y - cos ⁡ x + A ( y , z )

Resolvendo agora 2):

f x , y , z = x 2 z y + B ( x , z )

E por último, mas não menos importante, resolvemos 3):

f x , y , z = x 2 z y + C ( x , y )

Com isso concluímos que a função potencial é:

f = x 2 z y - cos ⁡ x + K

Passo 3

Esse é o momento em que aplicamos os pontos iniciais e finais:

Vamos ver então quais são os pontos substituindo nossa parametrização dada no enunciado pelos extremos.

c t = cos 5 ⁡ t ,   s e n 3 t ,   t 4   c o m   0 ≤ t ≤ π

c 0 = 1 ,   0 ,   0

c π = ( - 1 ,   0 ,   π 4 )

Teremos então:

f B - f A = f - 1,0 , π 4 - f 1,0 , 0

Lembrando que f = x 2 z y - cos ⁡ x

- 1 2 . 0 . π 4 - cos ⁡ - 1 - 1 2 . 0.0 - cos ⁡ 1

= - cos ⁡ - 1 + cos ⁡ 1 = 0  

Resposta

0

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