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Exercícios Resolvidos de Função Potencial

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - Profª Lúcia - Lista de Integral de Linha - 2023.1, Questão 25

25. O campo vetorial F : R 2 → R 2 , F x , y = 2 . x . y , x 2 é conservativo? Justifique (não precisa explicitar a função potencial f ).

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos apenas que verificar se o campo vetorial dado pela função F x , y = 2 . x . y , x 2 é conservativo.

Tem alguma ideia de como fazemos isso? 🤔

Basicamente, para descobrir se F é um campo conservativo, temos que analisar se F está definida em todo o espaço e tambem verificar se o rotacional de F é nulo.

De boa, não é? 😉

Passo 2

Vamos começar calculando o rotacional de F ...

R o t F = i →   j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z i → + ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x j → + ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y k →

Substituindo nossa função, temos que

R o t F = ∂ 0 ∂ y - ∂ x 2 ∂ z i → + ∂ 2 x y ∂ z - ∂ 0 ∂ x j → + ∂ x 2 ∂ x - ∂ 2 x y ∂ y k →

R o t F = 0 - 0 i → + 0 - 0 j → + 2 x - 2 x k →

R o t F = 0 →

Como o rotacional de F é nulo e F é definido em todo R 2 , então podemos afirmar que F é um campo conservativo.

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

F é um campo conservativo

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