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Exercícios Resolvidos de Função Potencial

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Enunciado

5) Considere o campo conservativo

F → = e x sin ⁡ y + e z cos ⁡ x ,   e x cos ⁡ y + e y sin ⁡ z ,   e y cos ⁡ z + e z sin ⁡ x .

Então o valor da integral de linha deste campo ao longo de uma curva com ponto inicial 1 ,   0 ,   0 e ponto final 1 ,   1 ,   - 1 é

  1. - 1 + 1 / e sin ⁡ 1
  2. e cos ⁡ 1
  3. cos ⁡ 1 + sin ⁡ 1
  4. 1
  5. 1 / e ( c o s   ( 1 ) - s i n   ( 1 ) )

Passo 1

Como

F → = e x sin ⁡ y + e z cos ⁡ x ,   e x cos ⁡ y + e y sin ⁡ z ,   e y cos ⁡ z + e z sin ⁡ x = F 1 ,   F 2 ,   F 3 .

Vamos achar a função potencial f para o campo. Devemos ter

∂ f ∂ x = F 1

f = ∫ F 1 d x = ∫ e x sin ⁡ y + e z cos ⁡ x d x = e x sin ⁡ y + e z s in ⁡ x + A y , z

Além disso devemos ter

∂ f ∂ y = F 2

f = ∫ F 2 d y = ∫ e x cos ⁡ y + e y sin ⁡ z d y = e x sin ⁡ y + e y sin ⁡ z + B x ,   z

Outra que também temos é...

∂ f ∂ z = F 3

f = ∫ F 3 d z = ∫ e y cos ⁡ z + e z sin ⁡ x d z = e y sin ⁡ z + e z sin ⁡ x + C x ,   y

Logo, f só pode ser, unindo essas três informações...

f = e x sin ⁡ y + e y sin ⁡ z + e z sin ⁡ x + K

Passo 2

Para nossa integral de linha devemos achar o ponto inicial e o final, a curva começa em 1 ,   0 ,   0 e termina em 1 ,   1 ,   - 1

A integral vai ficar

∫ C F → ∙ d r → = f 1 ,   1 ,   - 1 - f 1 , 0 ,   0

∫ C F → ∙ d r → = e 1 sin ⁡ 1 + e 1 sin ⁡ - 1 + e - 1 sin ⁡ 1 + K - e 1 sin ⁡ 0 + e 0 sin ⁡ 0 + e 0 sin ⁡ 1 + K =

∫ C F → ∙ d r → = e - 1 sin ⁡ 1 - sin ⁡ 1 = 1 e - 1 sin ⁡ 1

Resposta

a )   1 e - 1 sin ⁡ 1

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