- Considere o campo vetorial . Calcule
Onde é a circunferência de centro em e de raio , orientada no sentido anti-horário.
- Justifique se é ou nao um campo conservativo.
Onde é a circunferência de centro em e de raio , orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Letra a)
Antes de tudo, precisamos parametrizar essa curva . Como se trata de uma circunferência de raio , vamos usar coordenadas polares com :
Como ela está orientada no sentido anti-horário, .
Passo 2
Agora, vamos derivar essa parametrização:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a fórmula:
Escrevendo o campo em função da parametrização:
Levando o que temos para a integral:
Passo 4
Letra b)
Em um campo conservativo, a integral de linha sobre uma curva fechada dever ser igual a zero. Como vimos no item a), a integral em (que é fechada) é diferente de zero, portanto, não é conservativo.
Resposta
- Não é conservativo.