Consideremos um arame que tem a forma do segmento de reta de (-1,5,0) a (1,6,4).
- Seja a função densidade linear do arame. Determine a massa do arame.
- Seja . Use o teorema fundamental das integrais de linha para calcular
Passo 1
- Vamos começar parametrizando esse segmento de reta.
- Para fazer oque é pedido na questão, precisamos mostrar que estamos trabalhando com um campo conservativo, encontrando .
Onde é o vetor que indica a direção da reta.
Pra acharmos esse vetor fazemos:
Agora vamos ver como fica nossa parametrização, onde é algum ponto que percença a reta. Vou optar por usar (-1, 5, 0) por ter para diminuir os números que vamos trabalhar.
Passo 2
Para encontrarmos o intervalo de variação do nosso parâmetro fazemos:
Então ficamos que .
Passo 3
Agora, para determinar a massa do arame fazemos:
Precisamos de:
Onde , e temos que escrever nossa função densidade em função do novo paramentro ( )
Logo:
Passo 4
Ficamos então que
Passo 2
Pra finalizar então aplicamos que: