Consideremos um arame que tem a forma do segmento de reta de (-1,5,0) a (1,6,4).
- Seja a função densidade linear do arame. Determine a massa do arame.
- Seja . Use o teorema fundamental das integrais de linha para calcular
Passo 1
- Vamos começar parametrizando esse segmento de reta.
- Para fazer oque é pedido na questão, precisamos mostrar que estamos trabalhando com um campo conservativo, encontrando .
Onde é o vetor que indica a direção da reta.
Pra acharmos esse vetor fazemos:
Agora vamos ver como fica nossa parametrização, onde é algum ponto que percença a reta. Vou optar por usar (-1, 5, 0) por ter para diminuir os números que vamos trabalhar.
Passo 2
Para encontrarmos o intervalo de variação do nosso parâmetro fazemos:
Então ficamos que .
Passo 3
Agora, para determinar a massa do arame fazemos:
Precisamos de:
Onde , e temos que escrever nossa função densidade em função do novo paramentro ( )
Logo:
Passo 4
Ficamos então que
Passo 2
Pra finalizar então aplicamos que:
Resposta
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6. Mostre que as integrais ∮ C F 1 x , y d x + F 2 x , y d y São nulas, quais quer que sejam os contornos fechados C contidos no domínio F 1,F 2 , onde F 1 x , y = sen x + 4 x y F 2 x , y = 2 x 2 -
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