Teorema de Stokes
Dado o campo vetorial:
Determine a integral de linha de ao longo da curva parametrizada por:
Com
Passo 1
Está na cara que é pra usar a Lei de Stokes, pois esse campo está com uma cara terrível, e a curva idem. Aplicando:
Calculamos o rotacional de :
Portanto temos um campo conservativo em mãos, o que significa que o campo tem uma função potencial associada, tal que:
Passo 2
Aplicando a definição da função potencial e integrando todos os termos:
Igualando todas:
Passo 3
Agora vamos analisar a curva . Ela liga os pontos:
Portanto, aplicando a integral de linha com a função potencial:
Fazendo as contas malditas:
Enfim terminamos.
Resposta
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6. Mostre que as integrais ∮ C F 1 x , y d x + F 2 x , y d y São nulas, quais quer que sejam os contornos fechados C contidos no domínio F 1,F 2 , onde F 1 x , y = sen x + 4 x y F 2 x , y = 2 x 2 -
Um escoamento é representado pelo campo de velocidade v → = y 2 + z 2 i → + x z j → + 2 x 2 y 2 k → Verificar se o escoamento é:b) irrotacional.
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?f) f → x , y , = x 2 + y , y 2 - x , em R 2
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Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?h) f → x , y , = sen x , cos y , em R 2