UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Laís Rodrigues - 1ª Lista - Integrais de Linha e de Superfície, Questão 6c
(a) Determine uma função f tal que F = ∇f e (b) use a parte (a) para calcular sobre a curva C dada.
,
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão nos pede para determinar uma função escalar f, tal que o campo vetorial F(x,y,z) possa ser escrito como gradiente desse campo escalar:
Se isso ocorrer, a integral de linha do campo vetorial F entre dois pontos A e B não depende do caminho e o campo F é chamado campo vetorial conservativo. Então, vamos verificar se existe alguma função f tal que F seja gradiente dela, para podermos calcular a integral de caminho de F do ponto t = 0, , até o ponto t = , (1,, ). Então vamos lá verificar!
Passo 2
Como a componente x da função F é dada por , temos que sua integral em relação à x, onde consideramos y e z como constantes, é dada por
Onde C(y,z) é a constante de integração da integral indefinida acima que pode ser uma função de y e z, já que estamos integrando apenas em x. Agora, precisamos fazer a mesma coisa para a componente y de F, dessa vez, integrada em y, considerando x e z como constantes. Integrando, obtemos
Onde C(x,z) é a constante de integração da integral indefinida acima que pode ser uma função de x e z, já que estamos integrando apenas em y. Agora, finalmente, fazemos a mesma coisa para a componente z de F, dessa vez, integrada em z, considerando x e y como constantes. Integrando, obtemos
Das expressões para as integrais de e vemos que a função C(y,z) é da forma . Da expressão para , vemos que a função C(x,y) deve ser da forma x seny, para que todas as integrais sejam iguais. Como uma família de funções tem a mesma derivada devido a um termo constante cte, temos que os potenciais f tais que seus gradientes nos geram o campo vetorial F são da forma:
Se derivarmos f em relação à x, obtemos a componente , se derivarmos f em relação à y, obtemos a componente e se derivarmos em relação à z, obtemos , para qualquer que seja o valor da constante cte. Ou seja, o campo vetorial F pode ser escrito como o gradiente de um potencial f e, portanto, é conservativo. Ou seja, podemos calcular a integral de linha entre os pontos (0,0,0) e (1,,) sem nos preocupar com o caminho escolhido. Então bora lá integrar!
Passo 3
Como a integral não depende do caminho, vamos definir uma curva r(t) parametrizada por um parâmetro t, tal que
Onde a curva come��a no ponto (0,0,0) e termina no ponto (1,,).
Então, sobre essa curva, o campo vetorial F assume a forma
Agora, precisamos calcular um vetor tangente à curva , tal que possamos escrever os deslocamentos dx e dx em função de dt. Calculando um vetor tangente à curva r(t), obtemos
Então, podemos escrever dx e dy como
Então, para calcular a integral de linha de F ao longo da curva r(t), fazemos o produto escalar de F com . Assim, obtemos
Então, apesar de termos utilizado uma curva diferente da definida no enunciado, temos que a integral de F ao longo da curva é igual à , pois a integral não depende do caminho.